河內塔多根柱探討
除了以三根柱解題之外，也提供以四根柱、五根柱及多根柱的解題方式！
我們所找出的解題方式，是國內所有河內塔多根柱相關研究中最簡單易懂的。
擴充性強，不限64圓盤，也不限幾根柱，皆能快速解題。
| 序號 | 檔案 | 內容 | 上傳者 |
|---|---|---|---|
| 10 |  | 作者 九章出版社 來源 河內塔的起源 描述 1883 年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹 了一個遊戲。這個遊戲名為河內塔（Tower of Hanoi），越南有一座神廟，從天神 創世紀起，就在神廟地底的中心處立了三根鑽石的針，一根針上串了64 個用金 子鑄成的圓片，自上而下圓片就越來越大，神廟的僧侶按照由上而下由小而大， 一次搬運一個圓片的方法，把這64 個金圓片搬到第三根鑽石針上，據古代的傳 聞，移動這六十四個金圓片有個規定：大盤不可放在小盤上，一次只能拿起1個 金圓片，套在另一根細柱後才可以移動下一個金圓片。 | 諶靚 |
| 9 | | 作者 四十四屆中小學科 學展覽 來源 柱咒毀滅－探討河內塔柱數增加與搬運次數之關係 描述 柱咒毀滅－探討河內塔柱數增加與搬運次數之關係 | 諶靚 |
| 8 | | 作者 許介彥 來源 大葉大學 通訊與計算機工程學系 描述 這是有名的河內塔問題，由法國數學家 Édouard Lucas (1842-1891) 於 1883 年提出，當年並被製成玩具來販售；他在描述這個問題的時候編了一個小故事：在印度的某座古老的寺廟前矗立著三根鑲滿了鑽石的柱子，其中之一由上而下套著由小而大 64 個黃金打造的圓盤；根據當地的傳說，當廟裡的和尚在上述限制下將這 64 個圓盤成功地移到另一根柱子的剎那，世界將會毀滅。 | 李凱恩 |
| 7 | | 作者 江岳玲、陳智能、劉懿慧 來源 http://163.20.152.27/assets/attached/208/original/%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94HTC%E6%95%99%E6%A1%88.pdf?1401154669 描述 1. 複習等差、等比數列的遞迴式與一般式。 2. 觀察非齊次一階遞迴式的特徵。 3. 學習如何在 Learn Mode 學習系統中 APP 下載河內塔遊戲。 4. 學習河內塔遊戲規則。 5. 導出河內塔遊戲的遞迴式與一般式。 | 李凱恩 |
| 6 | | 作者 周芳如 來源 國立員林高中 描述 1883 年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一 個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事(也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲 之神秘色彩而捏造的)。 | 李凱恩 |
| 5 | | 作者 陳昭翰 來源 私立格致高中 描述 研究四柱河內塔的總數合之公式，以三柱河內塔推出四柱河內塔公式。 | 李凱恩 |
| 4 | | 作者 許技江 來源 國立楊梅高中數學科教師 描述 河內塔之深入研究 | 李凱恩 |
| 3 | | 作者 余相甫、李安盛 來源 臺北市立建國高級中學 描述 臺灣二 OO 四年國際科學展覽會 科 別：電腦科學科 作品名稱：將錯就錯的 knuth 河內塔 得獎獎項：電腦科學科第一名 美國第五十五屆國際科技展覽會團隊正選代表 英特爾電腦科學獎第一名 | 諶靚 |
| 2 | | 作者 陶佳妤、李羚毓 、王鈺能、盧建方、歐陽至宸 來源 臺北縣永和市秀朗國民小學 描述 中華民國 第50 屆中小學科學展覽會 作品說明書 國小組 數學科 第二名 080409 數學101～河內塔變身！ | 陳錦松 |
| 1 | | 作者 古浩平 來源 苗栗縣立通霄國民中學 描述 中華民國第四十六屆中小學科學展覽會 作品說明書 河內塔問題 關 鍵 詞：線性函數、符號代表數、數列 | 陳錦松 |
| 序號 | 封面照 | 內容說明 | 上傳者 |
|---|---|---|---|
| 5 |  | 類別 相簿集 名稱 論文撰寫 說明 中華民國第四十六屆中小學科學展覽會 作品說明書 河內塔問題 關 鍵 詞：線性函數、符號代表數、數列 | 孫佳萱 |
| 4 |  | 類別 相簿集 名稱 河內塔遊戲練習 說明 三根柱、四根柱、五根柱練習 | 李婕 |
| 3 |  | 類別 相簿集 名稱 五根柱練習 說明 三根柱、四根柱、五根柱練習 | 李凱恩 |
| 2 |  | 類別 相簿集 名稱 四根柱 說明 三根柱、四根柱、五根柱練習 | 李凱恩 |
| 1 |  | 類別 相簿集 名稱 三根柱練習 說明 三根柱練習 3盤需要的步數為7步 7=2^3-1 7=3+3+1 4盤需要的步數為15步 15=2^4-1 15=7+7+1 | 諶靚 |
| 序號 | 內容 | 上傳者 |
|---|---|---|
| 10 | 作者 李凱恩 標題 五根柱子的河內塔 內容 在討論過 4根柱子後，我們再來看看 5根柱子又會有何結果。在一樣的搬運 規則下，當柱子有5根時，能達到最少搬運次數的方法就更多了，但我們發現之 前所用的搬移策略仍然會使搬運次數達到最少。 5根柱子考慮的搬移情形比 4根柱子更複雜一些，我們可能會猜想也許先將 某些圓片搬移到〝兩根〞柱子，再將剩下的圓片搬移到另一柱子，最後才把先前 兩根柱子的圓片搬移堆疊到所求的柱子上，直觀上這樣搬也許會有更少次數。 | 李凱恩 |
| 9 | 作者 李凱恩 標題 四根柱子的河內塔 內容 現在再多增加一根柱子，搬運的規則不變，則我們想知道最少次數的搬法是 否仍是固定的，若否，又有幾種呢？而最少次數又為何呢？ 經由實際操作後發現，要將 n個盤子從一根柱子搬移到另一根柱子，使其搬 運次數最少的方法並不唯一，但都可以用一固定的策略來搬移，此策略分為三個 階段： (a) 先將適當量的m個圓片（編號1 ~ m）利用四根柱子搬移到一根柱子。 (b) 再將剩餘的n − m個圓片（編號m + 1 ~ n），利用其它三根柱子搬移至另一 根柱子。 (c) 最後再利用四根柱子，將(a)中1 ~ m號之圓片搬運至此柱。 | 李凱恩 |
| 8 | 作者 李凱恩 標題 內容 如果柱子標為ABC，要由A搬至C，在只有一個盤子時，就將它直接搬至C，當有兩個盤子，就將B當作輔助柱。 如果盤數超過2個，將第三個以下的盤子遮起來，就很簡單了，每次處理兩個盤子，也就是：A->B、A ->C、B->C這三個步驟，而被遮住的部份，其實就是進入程式的遞迴處理。 若有n個盤子，則移動完畢所需之次數為2^n - 1，所以當盤數為64時，則所需次數為： 264- 1 = 18446744073709551615 為5.05390248594782e+16年，也就是約5000世紀，如果對這數字沒什麼概念，就假設每秒鐘搬一個盤子好了，也要約5850億年左右。 | 李凱恩 |
| 7 | 作者 李凱恩 標題 河內塔問題 內容 在有3個柱子時，所需步數的公式較簡單，但對於4個以上柱子的漢諾塔尚未得到通用公式，但有一遞歸公式（未得到證明，但目前為止沒有找到反例）： 令f(n,k)為在有k個柱子時，移動n個圓盤到另一柱子上需要的步數，則： 對於任何移動方法，必定會先將m(1\le m\le n-1)個圓盤移動到一個中間柱子上，再將第n到第n-m個圓盤通過剩下的k-1個柱子移到目標柱子上，最後將m個在中間柱子上的圓盤移動到目標柱子上。這樣所需的操作步數為2f(m,k)+f(n-m,k-1)。 進行最優化，易得:f(n,k)=\mathrm{min}_{m\in [1,n-1]}\; (2f(m,k)+f(n-m,k-1)) 。 | 李凱恩 |
| 6 | 作者 李凱恩 標題 三根柱步數公式 內容 如取N=64，最少需移動264-1次。即如果一秒鐘能移動一塊圓盤，仍將需5849.42億年。目前按照宇宙大爆炸理論的推測，宇宙的年齡僅為137億年。 一般N=8；最少需移動255次。如果N=10，最少需移動1023次。如果N=15，最少需移動32767次；這就是說，如果一個人從3歲到99歲，每天移動一塊圓盤，他最多僅能移動15塊。如果N=20，最少需移動1048575次，即超過了一百萬次。 | 李凱恩 |
| 5 | 作者 諶靚 標題 多根柱的研究報告 內容 如果用4根柱或5根柱來搬64個圓盤，需要花多少時間呢？我們繼續增加盤數，發現4根柱的最少步數有以下的規律性： 所以，我們把步數差的規律找出來，接著把所有的步數差加起來，就可以算出用4根柱移動64個圓盤的最少步數。我們發現步數差都是2的次方倍，而且每增加一個次方，就多一個相同的步數差。我們計算移動64個圓盤的最少步數的方法如下： 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 8 16 32 64 128 256 512 1024 16 32 64 128 256 512 1024 32 64 128 256 512 1024 64 128 256 512 1024 128 256 512 1024 256 512 1024 512 第64個 1 4 12 32 80 192 448 1024 2304 5120 9216 步數總和為：18433，如果一步只走一秒，只需18433秒，只要5小時7分又13秒就可以完成！ 同樣的道理，我們發現5根柱的最少步數有以下的規律性： 盤數 柱數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5根柱 1 3 5 7 11 15 19 23 27 31 39 47 55 63 71 79 87 95 103 111 127 143 步數差 1 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 16 16 步數差有下列的規則：20有1個，21有3個，22有6個，23有10個，這有什麼規律呢？我們花了好多時間，總算研究出這步數差的規則，如果是2的n次方，那就會有(n+1)．(n+2)/2個步數差。 依這個規則：我們算出20有1個，和為1 21有3個，和為6 22有6個，和為24 23有10個，和為80 24有15個，和為240 25有21個，和為672 26有28個，因為有64個圓盤，所以26只需要8個，所以用5根柱移動64個圓盤，只需要花1535秒，合計25分35秒。 真是意想不到。 | 諶靚 |
| 4 | 作者 李婕 標題 多跟柱的計算 內容 我們發現只要多一根柱，最少的移動步數就大量的減少。例如有10個盤，3根柱需走1023步，但4根柱卻只需要49步。我們發現最少的移動步數只要增加柱數，就能解決傳說的故事，大量減少步數。由上表中，我們發現最少步數都是奇數步，而且好像有連續奇數的規律性，應該可以把64個圓盤，用4根柱與5根柱的最少步數算出來。 透過三根柱的研究，只要把步數差加起來，就是圓盤數所需走的最少步數，這個發現應該也可以應用在4根柱5根柱，甚至多根柱最少步數的計算上。 | 李婕 |
| 3 | 作者 孫佳萱 標題 河內塔的玩法 內容 基本河內塔，有三根柱子。遊戲的開始，是在第一根柱子上，由上到下疊著 由小到大的圓盤。每個圓盤大小都不一樣。 遊戲的玩法是，一次移動一張圓盤，拿起某一根柱子上的最上面的圓盤，放 在別的柱子上。但是限制條件是，大圓盤不可放在小圓盤上，小圓盤可以放在大 圓盤上。放好手上的圓盤後，才能拿起另一張圓盤。 遊戲的最終目標是，把所有的圓盤，都移到與開始不同的另一根柱子上（全 部圓盤都在同一柱），就算結束。 | 孫佳萱 |
| 2 | 作者 李凱恩 標題 研究河內塔的人 內容 我們對最早研究河內塔的人真是深感佩服。64個圓盤，竟然只用三根柱子，就想要全部移完，這完全是不可能的任務。 而我們除了佩服之外，對傳統三根柱也誠心地做了些研究，發現了網路上所有的的移動次數，解答都是２ｎ－１，但是我們發現了另外兩種規律。這是我們的獨特的發現，我們也用「步數差」推導出公式，應該可以讓大家有不同的想法。我們也發現三根柱的傳統河內塔，移動的第一步有其規律性，奇數層的河內塔，第一步要移在第三柱。偶數層的河內塔，第一步要移在第二柱。 最讓我們感到興奮的是，我們只多用了一根柱，就解決了5849億年的問題，立刻縮短為 5小時7分又13秒就可以完成。更厲害的是，加到5根柱的時候，竟然只需要花25分35秒。 所以，「步數差」的和，就是解開這個歷史謎團的關鍵，這真是太神奇了，作夢都會笑了！ | 李凱恩 |
| 1 | 作者 孫佳萱 標題 推倒河內塔多根柱子就夠啦 內容 河內塔很有趣，但知道河內塔的傳說之後，這個遊戲就變得一點都不有趣了。只用3根柱子就要把64個圓盤全部移到另一邊，而動的過程中，規定小盤一定要在大盤之上，這真是不可能的任務，如果一步算一秒的話，以最快的速度也要264－1秒，18466744073709551615秒，需花5849億年才能搬得完。 我們可不接手這種不可能的任務，其實我們只多加了一根柱，立刻讓5849億年，幻化成5小時7分又13秒。這一根柱，就像魔術棒一樣點石成金了，時間就是金錢嘛！ 壹、研究背景與動機 我們在看了 猩球崛起 這部電影時看到一隻名叫 亮眼 的猩猩，正在使用河內塔測牠的智商，而我們很好奇那個叫座河內塔的東西為甚麼可以用來測智商。 「亮眼」排4個圓盤時，用了20步，研究人員說滿分是15步。這引起了我們的興趣，原來河內塔可以用來考試啊。 我們就在想，那第一個玩河內塔的人，或沒玩過河內塔的人，怎麼知道自己有走出了最少的步數？如果把可移動的柱子增加，最少的步數會不會有差別？ 研究目的 河內塔有一個起源的故事，越南有一座神廟，從天神創世紀起，就在神廟地底，大地的中心處立了三根鑽石的針，一根針上串了64 個用金子鑄成的圓片，自上而下圓片就越來越大，神廟的僧侶按照由上而下由小而大，一次搬運一個圓片的方法，把這64 個金圓片搬到第三根鑽石針上，一旦工作完成，這些針、圓片、神廟、以及這世界都會隨之而消失，若一秒一步，這需要264-1步，亦即１８，４６６７４４，０７３７０９，５５１６１５秒，縱使僧侶毫不犯錯，也得花個５８４９億年才能搬得完。 這讓我們覺得僧侶很無辜，我們想幫他們一把。如果我們方法不變，但我們把柱子 增為４根或５根柱，那我們是否可以幫僧侶們節省一些時間？ 雖然我們並不希望世界消失。 研究設備及器材 紙、筆、河內塔道具、電腦。 研究過程與方法 一、規則說明：在河內塔的原始規則中，共有三根柱子，及 n 個圓盤。在起始狀態中，圓盤依照由小而大的順序集中在一根柱子上，再以一盤一步的順序依照由小而大的順序移至不同的另一根柱子。在搬運過程中，大圓盤亦不得置於小圓盤之上。 二、三根柱練習：我們先練習三根柱的傳統河內塔，先從1個圓盤開始，發現圓盤愈多，移動的次數增加的愈多。例如，一個圓盤只要1步，2個圓盤就需要3步，3個圓盤變成7步，4個圓盤就需要15步。至於5個盤子我們就走得很吃力了，也不知道是幾步，上網查資料後發現需走31步。這花了我們好多時間才完成這些步驟。我們也找出了一些規律。 三、多根柱的練習：後來我們覺得走得真辛苦，這64個圓盤怎麼走啊？有個念頭突然冒了出來，如果不要只有三根柱子當移動區的話，是不是會變得比較簡單。沒想到，當移動的柱子增加了，河內塔也變簡單了，而且也有規律哦！ | 孫佳萱 |
| 序號 | 封面 | 簡介（摘要） | 上傳者 |
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| 5 |  | 書名 數學解題王3 作者 柳已韻 出版社 三采文化 簡介（摘要） 學習重點： 幾何圖形 費式數列 一筆劃問題 內角和 數字陣列 河內塔問題 導讀 為了拯救被綁架的圖形國公主， 道奇和小瑜聯手破解了邊境的難關， 進入霧氣森林後， 卻又遭到怪物襲擊‧‧‧‧‧ | 李婕 |
| 4 |  | 書名 數學解題王2 作者 柳已韻 出版社 三采文化 簡介（摘要） 學習重點： 分數 負數 無理數 印度數學 羅馬數字 未知數 方程式 因數倍數 導讀 學習重點： 分數 負數 無理數 印度數學 羅馬數字 未知數 方程式 因數倍數 | 諶靚 |
| 3 |  | 書名 簡明數學百科 作者 洪萬生，林國棟，楊唐景崧，林炎全，寗自強，李慶俊，李慧英，陳創義，廖賀田，陳榮治，許清士 出版社 九章出版社 簡介（摘要） 「遞迴數列」，而其中的河內塔問題最能傳神貼切地點出遞迴數列的特別之處。 關於遞迴關係式的型式，如： ，在計算時可以先將其變型為 ，再利用等比數列的觀念求： 。 導讀 「遞迴數列」，而其中的河內塔問題最能傳神貼切地點出遞迴數列的特別之處。 關於遞迴關係式的型式，如： ，在計算時可以先將其變型為 ，再利用等比數列的觀念求： 。 | 諶靚 |
| 2 |  | 書名 數學解題1 作者 柳己韻 出版社 三采文化 簡介（摘要） 學習主題： 十進位 比例式 次方 商周定理 面積 體積 尺規作圖 一筆劃圖形 導讀 道奇是個聰明的小學生， 可是他非常討厭數學， 所以每次數學成績都是倒數第一名。 有一天他收到爸媽送的特殊遊戲機， 不小心進入奇幻的魔數世界....... | 孫佳萱 |
| 1 |  | 書名 光復科學圖鑑 數、形 作者 陳英正 出版社 光復書局 簡介（摘要） 本書是以遊樂中發覺數學和數字的趣味為目的，內容大致可分為三大單元。 第一單元是數學謎題，第二單元是數的歷史，第三單元是我們周圍的數學。 導讀 道奇是個聰明的小學生， 可是他非常討厭數學， 所以每次數學成績都是倒數第一名。 有一天他收到爸媽送的特殊遊戲機， 不小心進入奇幻的魔數世界....... | 李凱恩 |
| 序號 | 截圖 | 網站簡介 | 上傳者 |
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| 20 |  | 網站名稱 河內塔規律 網址 https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609031309920 網站簡介 一環(奇數,第一步移到C):1 二環(偶數,第一步移到B):1 2 1 三環(奇數,第一步移到C):1 2 1 3 1 2 1 四環(偶數,第一步移到B):1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 五環(奇數,第一步移到C):1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 六環:以此類推先重複一次五環的步驟(把上面五環移到B)再移6號環(移到C),然後重複一遍五環的步驟(把上面五環移到C) | 諶靚 |
| 19 |  | 網站名稱 河內之塔網路遊戲 網址 http://home.educities.edu.tw/oddest/math181.htm 網站簡介 河內之塔網路遊戲 | 諶靚 |
| 18 |  | 網站名稱 三色河內塔 網址 http://www.bcwhy.com/jdsf/AlgorithmGossip/MultiColorHanoiTower.htm 網站簡介 無論是雙色河內塔或是三色河內塔，其解法觀念與之前介紹過的河內塔是類似的，同樣也是使用遞迴來解，不過這次遞迴解法的目的不同，我們先來看只有兩個 盤的情況，這很簡單，只要將第一柱的黃色移動至第二柱，而接下來第一柱的藍色移動至第三柱。 | 孫佳萱 |
| 17 |  | 網站名稱 河內塔規律 網址 https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609031309920 網站簡介 河內塔在下有小研究過, 如果要移動的環有奇數個, 那最小的環(以下稱為1號環)就要先移動到他最後要移動的位置(C柱子),可以利用以下網址練習 http://www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31&l=c 第一步最重要,如果環數量是偶數個,那1號環就要先移動到不是他們最後目標的另外那根柱子(網址中的B), 移動順序是這樣的: 一環(奇數,第一步移到C):1 二環(偶數,第一步移到B):1 2 1 三環(奇數,第一步移到C):1 2 1 3 1 2 1 四環(偶數,第一步移到B):1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 五環(奇數,第一步移到C):1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 六環:以此類推先重複一次五環的步驟(把上面五環移到B)再移6號環(移到C),然後重複一遍五環的步驟(把上面五環移到C) | 李婕 |
| 16 |  | 網站名稱 河內塔(Hanoi Tower) 網址 http://edisonx.pixnet.net/blog/post/33668637-%5Brecursive%5D-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94(hanoi-tower) 網站簡介 這問題也有人譯為漢諾塔。這是由一個法國數學家 - 愛德華.盧卡斯 所提出之問題。印度某寺廟裡有三根柱子，其中一根有64個金盤，寺院裡的僧侶依照一個古老的預言之規則(規則稍後說明)去移動金盤；同時預言說當這些盤子移動完畢，世界就會滅亡。這個傳說叫做梵天寺之塔問題(Tower of Brahma puzzle)。 至於後期為何叫河內塔？事實上這傳說的變種已經愈來愈多，人物、時間、地點都有變過，而其中一個版本的地點就是越南的河內。接著說明河內塔的遊戲規則。 | 孫佳萱 |
| 15 |  | 網站名稱 數學科展河內之塔 網址 https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1013121302181 網站簡介 Sn應該是指n個環從一根柱子搬到另一根柱子的次數吧 因為前面已知n個環從一柱移至另一柱所需的搬運次數為Sn 那多出2個環變為n+2個環之後 一定要最下面的最大環先放到D柱，那麼次大環只能放在C柱 剩下的n個環就視為原來的n個環(也就是最大環和次大環先視而不見) 那麼剩下的n個環只能移往B柱，次數當然也是Sn 河內之塔的規則是環的大小由上往下一定要由小到大 所以n+2個環的移動次數中的Sn和n個環的移動次數Sn是一樣的 | 李婕 |
| 14 |  | 網站名稱 河內塔問題與遞迴 網址 http://htnvt241.blog.ithome.com.tw/post/2589/63520 網站簡介 最早發明這個問題的人是法國數學家愛德華·盧卡斯。有一個傳說是這樣的：印度某間寺院有三根柱子，上串64個金盤。寺院裡的僧侶依照一個古老的預言，以上述規則移動這些盤子；預言說當這些盤子移動完畢，世界就會滅亡。這個傳說叫做梵天寺之塔問題(Tower of Brahma puzzle)。但不知道是盧卡斯自創的這個傳說，還是他受其啟發。 | 孫佳萱 |
| 13 |  | 網站名稱 河內塔遊戲 網址 http://www1.mtjh.kh.edu.tw/~t394/ago/honoi.htm 網站簡介 藉由動手操作過程中，訓練學生探究推理及構思的能力。 二、實驗器材：三根柱子，四個大小規格不同的圓盤。 三、活動過程：1.大盤在下，小盤在上。每次只能移動一個圓盤。 2.將套在一根柱子的圓盤全部移至另一根柱子上的最少次數。 3.先挑戰移動放３個圓盤的柱子，再挑戰放4個圓盤的柱子，2者皆挑戰成功者過關。 四、原理探討：相傳在創世紀時代，河內(Hanoi)的一座寺廟裡堅立著三根銀棒，有64個大小都不同的金盤(金盤正中央有一小孔)”大盤在下、小盤在上’’依序套在同一根銀棒上，造物主命僧侶把64個金盤全部移到另一根銀棒上，並且規定：每一次只能移動一個金盤，在移動的過程中，較大的金盤不可套在較小的金盤上，當金盤全部搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。同學們可依活動過程推論一下世界末日何時來臨？利用「數學歸納法」及「遞迴關係式」。 五、推廣：若遊戲規則上在加註規則每次移動圓盤僅能將圓盤移動至旁邊位置，不可跳著移動，則最少移動次數？ | 諶靚 |
| 12 |  | 網站名稱 河內寫程序的塔 網址 https://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoiimpl.html 網站簡介 在我們的河內塔的解決方案，我們遞歸最大的磁盤上移動。也就是說，我們將編寫一個遞歸函數作為參數的磁盤，它是最大的磁盤中，我們要移動的塔。我們的功能也將採取三個參數指示從該掛塔應該被移動（源），到掛應該去（DEST），另PEG，我們可以使用暫時要做到這一點 | 孫佳萱 |
| 11 |  | 網站名稱 河內塔- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia 網址 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94 網站簡介 如取N=64，最少需移動264-1次。即如果一秒鐘能移動一塊圓盤，仍將需5849.42億年。目前按照宇宙大爆炸理論的推測，宇宙的年齡僅為137億年。 在真實玩具中，一般N=8；最少需移動255次。如果N=10，最少需移動1023次。如果N=15，最少需移動32767次；這就是說，如果一個人從3歲到99歲，每天移動一塊圓盤，他最多僅能移動15塊。如果N=20，最少需移動1048575次，即超過了一百萬次。 | 李婕 |
| 10 |  | 網站名稱 Algorithm Gossip: 河內塔 網址 http://openhome.cc/Gossip/AlgorithmGossip/HanoiTower.htm 網站簡介 河內之塔(Towers of Hanoi)是法國人M.Claus(Lucas)於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家 Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒（Pag）所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依由小 至大排列的金盤（Disc），並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子，則當 盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。 | 諶靚 |
| 9 |  | 網站名稱 [ 資料結構 小學堂 ] 堆疊 : 堆疊應用 (河內塔問題) 網址 http://puremonkey2010.blogspot.tw/2010/09/blog-post_24.html 網站簡介 在西元 1883 年, 法國數學家 Lucas 所提出流傳在印度的河內塔 (Tower of Hanoil) 遊戲, 是典型使用遞迴與堆疊觀念來解決的範例. | 孫佳萱 |
| 8 |  | 網站名稱 河內塔的小故事 網址 http://blog.xuite.net/lmes99/toys/53506962-%E7%9B%8A%E6%99%BA%E7%8E%A9%E5%85%B7--%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%E7%9A%84%E5%B0%8F%E6%95%85%E4%BA%8B 網站簡介 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說是宇宙的中心。廟宇中放置三根柱子，其中的一根柱子上，從上到下放置64片直徑由小到大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示他的僧侶們，將64片金屬片移到另一根柱子上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中，必須保持金屬片由上到下是直徑由小到大的次序，也就是說，不論在哪一根柱子上，金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片金屬片依規則從指定的柱子上，全部移動到另一根柱子上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 現在的問題是，果真要移動這64片金屬片，那麼，至少要花幾次的搬動才能完成？有沒有規律可循？ 現在市面上可以買到河內塔遊戲的模型，只是圓環形金屬片改為木製的，而總共可能只有6或8片圓環。 | 諶靚 |
| 7 |  | 網站名稱 河內塔(Tower of Hanoi) 網址 http://emn178.pixnet.net/blog/post/87877439-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94(tower-of-hanoi) 網站簡介 此題目一般可使用Divide and Conquer來解，當有N個盤子的時候很難思考，我們假設只有兩個盤子的時候，就很好思考，只需要： 將上面的盤子移到暫時擺放的竿子。 將下面的盤子移到目標竿子。 將原來上面的盤子移到目標竿子。 而當盤子N個的時候，其實也是依照同樣的邏輯進行即可，但上面N-1個盤子要如何移到暫時擺放的竿子，這時候我們用遞迴的方式交給下一次呼叫自己去處理。 | 李婕 |
| 6 |  | 網站名稱 河內塔 網址 http://www.psy.kmu.edu.tw/~choco/Hanoi.html 網站簡介 相信許多人都有玩過河內塔『Tower of Hanoi』的經驗，在不斷搬移的過程中，必須遵循 著一定的遊戲規則：上方的環一定要比下方的小，且一次只能搬動一個環。 但是否我們只能不斷嘗試、碰運氣，最後幸運地搬完所有的環?還是說，有其他的規律可循 ? | 孫佳萱 |
| 5 |  | 網站名稱 遞迴河內塔程式解說 網址 https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607112707196 網站簡介 int T(int,int,int,int);//宣告函式，四個參數分別是"現在要移動的盤號"、"起點柱"、"暫存柱"、"終點柱" char hanoi[][4]={"A","B","C"};//把三個柱子分別取名，你要去XYZ也行，現在的對應是0->A,1->B,2->C int total=0;//這個變數是用來計算移動了幾次 | 諶靚 |
| 4 |  | 網站名稱 河內塔的規則 網址 http://finalfrank.pixnet.net/blog/post/18372611-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94-%E9%81%9E%E8%BF%B4 網站簡介 遞迴(Recurrence)在程式語言中，是一個很有趣的東西！！ 而「河內塔」(Hanoi Tower)，是一個遞迴的經典題目 凡舉大學資訊相關類科系，都應該有碰過... | 孫佳萱 |
| 3 |  | 網站名稱 演算河內塔 網址 http://program-lover.blogspot.tw/2008/06/tower-of-hanoi.html 網站簡介 河內塔問題(Tower of Hanoi)是由法國數學家盧卡斯(Édouard Lucas)引進的數學謎題：在 3 根桿子中，有 1 桿上有 N 個從下數起由大而小的穿孔圓盤。在每次只能移動一個圓盤，且大盤不能疊在小盤之上的規則之下，你需要以最少的次數將這 N 個圓盤全部移到另一根桿子上。 | 諶靚 |
| 2 |  | 網站名稱 河內塔之深入研究 網址 http://www.ymhs.tyc.edu.tw/library/paper/fileList/%E6%A5%8A%E6%A2%85%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E5%A0%B1%E7%AC%AC1%E6%9C%9F/04.%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%E4%B9%8B%E6%B7%B1%E5%85%A5%E7%A0%94%E7%A9%B6--%E8%A8%B1%E6%8A%80%E6%B1%9F(p.29-42).pdf 網站簡介 壹、 河內塔的起源 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹 了一個遊戲。這個遊戲名為河內塔（Tower of Hanoi），它源自古印度神廟中的一 段故事（也有一說是在越南河內）。傳說在古老的印度，有一座神廟。在廟宇內 正中央的一個平台上有三根細柱，另外有六十四張大小不同的平圓盤套在這三根 細柱的其中一根上。據古代的傳聞，移動這六十四張圓盤有個規定：大盤不可放 在小盤上；一次只能拿起一張圓盤，套在另一根細柱後才可以移動下一張圓盤。 若將這六十四張圓盤自一根細柱全部移動到另一根細柱，而且不違反規定，則佛 祖及眾神將再度降臨人世，天下太平。 貳、 移動河內塔之規則 基本河內塔，有三根柱子。遊戲的開始，是在第一根柱子上，由上到下疊著 由小到大的圓盤。每個圓盤大小都不一樣。 遊戲的玩法是，一次移動一張圓盤，拿起某一根柱子上的最上面的圓盤，放 在別的柱子上。但是限制條件是，大圓盤不可放在小圓盤上，小圓盤可以放在大 圓盤上。放好手上的圓盤後，才能拿起另一張圓盤。 遊戲的最終目標是，把所有的圓盤，都移到與開始不同的另一根柱子上（全 部圓盤都在同一柱），就算結束。 | 李婕 |
| 1 |  | 網站名稱 什麼是河內塔問題 網址 http://content.edu.tw/senior/computer/ks_ks/book/algodata/algorithm/algo44.htm 網站簡介 前面我們在討論遞迴的觀念時，只是單純討論到遞迴的技術以及與疊代法(iteration)的比較。然而遞迴在解決某些問題時也確實有它獨到之處，其中法國數學Lucas在1883年所提出的「河內塔」問題，最能傳神貼切的點出遞迴法的特別之處。 | 孫佳萱 |
| 序號 | 書面報告 | 說明 | 上傳者 |
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| 1 | | 說明 我們發現，依（表四）的規律，就能夠找出多根柱的最少步數，而且只要擴 充（表四）的規律，無論盤數多少，不用限定64 盤，都能夠計算出來。我們的 方法簡單方便，甚至比國內多根柱的相關研究更易上手。 我們的方法是目前國內擴充性最強也最方便的方法。 | 諶靚 |
| 序號 | 書面報告 | 說明 | 上傳者 |
|---|---|---|---|
| 3 |  | 說明 多根柱與步數差 | 諶靚 |
| 2 |  | 說明 小論文---河內塔多根柱探討---簡報資料 | 諶靚 |
| 1 | | 說明 5-6根柱分盤 | 諶靚 |
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