河內塔多根柱通式解
河內塔多根柱研究所需面對的最大問題就是分盤方式有太多種，如何找出最佳的分盤法，就是解開多根柱河內塔的關鍵。我們找出了最少「步數差」的依序分盤方式，很容易就建構出了一個巴斯卡三角形數列，以簡單的算式就可以順利解出多根柱的通式解，有別於國內相關研究的繁雜。
| 序號 | 檔案 | 內容 | 上傳者 |
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| 10 |  | 作者 許介彥 來源 漫談河內塔問題 描述 河內塔問題 一平面上豎著 A、B、C 三根木樁，其中的木樁 A 由上而下套著由小而大八個大小相異的圓環。 假設我們想要將這八個圓環由木樁 A 搬到木樁 C，而且搬動的過程受到以下三項限 制： 1.一次只能搬動一個圓環。 2.每次搬動都須由某根木樁搬到另一根木樁，圓環不能被暫時放到其他地方。 3.對任何木樁上任意兩個相疊的圓環而言，上面的圓環一定要比下面的圓環小。 請問：要完成此項工作最少須搬動圓環幾次？ 這是有名的河內塔問題（Tower of Hanoi problem），由法國數學家 Édouard Lucas(1842-1891) 於 1883 年提出，當年並被製成玩具來販售；他在描述這個問題的時候編了一個小故事：在印度的某座古老的寺廟前矗立著三根鑲滿了鑽石的柱子，其中之一由上而下套著由小而大 64 個黃金打造的圓盤；根據當地的傳說，當廟裡的和尚在上述限制下將這 64 個圓盤成功地移到另一根柱子的剎那，世界將會毀滅。 | 姜婷媁 |
| 9 | | 作者 余相甫、李安盛 來源 臺北市立建國高級中學 描述 在這篇報告中，我們探索了「將錯就錯的 Knuth 河內塔問題」。 傳統河內塔問題在電腦科學上佔有重要的地位，是一個極具內涵的模型。由於這個模型 的深厚數學內涵，使其和巴斯卡三角形建立了緊密的連結，且利用這個緊密的數學連結，設 計出復原任意起始狀態的良好演算法。 Knuth河內塔起因於數學家 Knuth 在論文[3]中，描述傳統的河內塔問題時所發生的一次 筆誤。在這個新的規則之下，我們意外發現 Knuth 河內塔存在著一個和傳統河內塔平行的模 型，此模型在電腦科學及數學上有著完全不同於傳統河內塔的內涵。 我們的研究主要如下：(分別為內文中的四大段) (一) 結構分析。移動環所需要的次數，如何移動環並分析每一次動作所動的環，及每個 環何時被動到並給出演算法。 (二) 正整數的分割。所有的移動步驟將正整數做了一個新的分割(Partition)；此分割模k 之後有良好的循環性質。 (三) 費波那契真分數的排序。這個正整數的分割形成一張表，這張表恰好就是分子分母 皆為費波那契真分數之排序。 (四) 隨意亂排的Knuth河內塔復原演算法。在 Knuth河內塔的規定下將起始狀態改變， 找出良好的復原演算法，並分析。 | 黃奕誠 |
| 8 | | 作者 應數碩 97 林瑋玲 來源 應數碩 97 林瑋玲 描述 1883年法國的數學家 Edouard Lucas教授在歐洲的一份雜誌上， 介紹一個好玩的智力遊戲，叫做河內塔。河內塔的緣由 ─ 傳說在古 老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。神廟中放置了一塊上 面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，由上至下被放置了 64 片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶 們按以下規則將 64 片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上： 1. 在每次的移動中，只能搬移一片金屬片。 2. 過程中必須保持金屬片小的在上，大的在下。 直到有那麼一天，僧侶們能將 64 片的金屬片依規則從指定的木 釘上全部移至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一 切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。所以當全數搬完時，需要幾天 的時間呢？ | 楊皓程 |
| 7 | | 作者 林信安 來源 /學術研究/上課講義/第一冊 描述 數學歸納法與遞迴數列 | 楊皓程 |
| 6 | | 作者 河內塔之深入研究 來源 國立楊梅高中數學科教師 許技江 描述 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹 了一個遊戲。這個遊戲名為河內塔（Tower of Hanoi），它源自古印度神廟中的一 段故事（也有一說是在越南河內）。傳說在古老的印度，有一座神廟。在廟宇內 正中央的一個平台上有三根細柱，另外有六十四張大小不同的平圓盤套在這三根 細柱的其中一根上。據古代的傳聞，移動這六十四張圓盤有個規定：大盤不可放 在小盤上；一次只能拿起一張圓盤，套在另一根細柱後才可以移動下一張圓盤。 若將這六十四張圓盤自一根細柱全部移動到另一根細柱，而且不違反規定，則佛 祖及眾神將再度降臨人世，天下太平 | 黃奕誠 |
| 5 | | 作者 小六 陶佳妤 小六 李羚毓 小六 王鈺能 小六 盧建方 小六 歐陽至宸 來源 臺北縣永和市秀朗國民小學 描述 本次的研究主題是由河內塔遊戲延伸而成的，我們除了增加河內塔的柱數探討外，並另 作形狀變化，探討最少步數間的規律，並歸納推論出數學式。 壹、研究動機 有一次，我們在電子辭典中發現河內塔的遊戲，當時很疑惑為什麼沒有河內塔四柱以上 的版本。因此，我們決定從研究河內塔基本型三柱最佳的走法、策略，挑戰河內塔四柱到十 柱是否有一定的走法規律可循，並嘗試河內塔其他的形狀變化，希望可以找到河內塔更多的 新玩法。 貳、研究目的 一、探討原河內塔柱數及圈數累加後，最少步數之變化。 二、探討河內塔的變化型(包括上樓梯型、下樓梯型、V 型、倒 V 型、凹一型、凹二型、凸一 型、凸二型)柱數與圈數累加後，最少步數之變化。 | 楊皓程 |
| 4 | | 作者 葉子瑄。台北市立中山女子高級中學。高一正班 來源 http://www.shs.edu.tw/works/essay/2012/11/2012111509523149.pdf 描述 於玩益智遊戲或日常生活中，常會碰到與移動有關的情形，如下跳棋、玩九連環、或由 出發地至目的地間最佳路線選擇等問題，在這些活動中是否有其規則性及合理的分析策略 呢？希望經由此次研究可找出隱藏在其中的數學觀念與技巧，進而發現某些移動問題的通用 公式。 | 黃奕誠 |
| 3 | | 作者 古浩平 張乃文 來源 苗栗縣立通霄國民中學 描述 三根木樁，其中的木樁A 由上而下套著由小而大的N 個相異的圓盤，如右 圖： 假設我們想要將這幾個圓環由木樁A 搬到木樁C，而且搬動過程 受到以下三項限制：一、一次只能搬動一個圓環。二、每次搬動都須由某根木樁搬到另一根 木樁，圓環不能被暫時放到其他地方。三、對任何木樁上的任意兩個相疊的圓環而言，上面 的圓環一定要比下面的圓環小。藉由這個基本的模型問題來推論出不同的變形問題，所以在 下面的本文中介紹了四種推廣類型，而在推廣討論四的部分，由於時間的匆促，我們並沒有 做出完整的推論，這是比較遺憾的部分，也希望藉此能引發更多的人對其餘不同的變形問題 能做更深入的探討。 | 李新智 |
| 2 |  | 作者 建國中學 來源 建國中學圖書館 描述 法國數學家Edouard Lucas 在1883年所提出 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木樁的木板，在其中的一根木樁上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的盤子。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的盤子移至三根木樁中的其中一根上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置： 一次只能移動一個盤子。 大盤子永遠不能放在小盤子的上面。 這一疊盤子可以藉由另外一根木樁移到另外一個位置 | 楊皓程 |
| 1 | | 作者 蔡易霖 翁煜傑 吳泳昇 來源 台南縣私立南光高中 描述 之前曾經聽老師介紹過「河內塔（Tower of Hanoi）」這個遊戲，是由一位法 國數學家Edouard Lucas（1883 年）在一份雜誌上所發表的。老師除了一開始計 算移動步數之外，後來也引導同學們找出它的最小步數公式：2n-1，並講解了遊 戲的原理。而我們這組在課堂之後則是突發奇想地嘗試去改變這個遊戲的規則， 也就是將玩法改成：有三個柱子，其中一個柱子上有n 個金屬片，但這些金屬片 是照奇數偶數的順序依序排列，亦即第一片編號為：1、第二片編號為：2‧‧‧ 依此類推。經過移動後要讓編號為1、3、5‧‧‧的金屬片在同一柱子上，編號 為2、4、6 的則在另一根柱子上，同時編號小的數字必得在編號大的數字上（例 如：1 一定要在3 的上面），若按此條件進行，則所需的最小步數為多少？ | 楊皓程 |
| 序號 | 封面照 | 內容說明 | 上傳者 |
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| 5 |  | 類別 相簿集 名稱 四根柱河內塔練習 說明 四根柱河內塔練習，找出四根柱河內塔的步數規律。 | 姜婷媁 |
| 4 |  | 類別 相簿集 名稱 五根柱河內塔練習 說明 五根柱河內塔練習，找出五根柱河內塔的步數規律。 | 姜婷媁 |
| 3 |  | 類別 相簿集 名稱 上傳心得檔案 說明 我們將所的準備資料一一上傳到比賽的網店裡。 | 李新智 |
| 2 |  | 類別 相簿集 名稱 網路河內塔遊戲練習 說明 我們先在網路練習河內塔的最少步數，可驗證我們的想法是否正確。 | 黃奕誠 |
| 1 |  | 類別 相簿集 名稱 三根柱河內塔練習 說明 三根柱河內塔練習，找出三根柱步數三規律。 | 陳錦松 |
| 序號 | 內容 | 上傳者 |
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| 10 | 作者 姜婷媁 標題 四根柱的規律 內容 四根柱的規律： 四根柱的河內塔也有其規律性，我們發現最少的步數有明顯的減少，原因為多一根柱，就可以將圓盤先分配在2根分盤柱上，不同於三根柱只能將圓盤分在1根分盤柱上。例如要完成3盤的遊戲，就不需要先完成2盤，可以先將2盤分成1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤）。因為1盤只需1步，所以四根柱的3盤只需S4(3)=2*1+2*1+1=5步（規律1）即可完成。同理，要完成4盤的遊戲，就不需先完成3盤，可以先將3盤分成2盤和1盤，寫成數對（2盤，1盤）。因為四根柱的2盤需3步，1盤只需1步，最少步數為S4(4) =2*3+2*1+1=9步（規律1）。 | 姜婷媁 |
| 9 | 作者 李新智 標題 研究結果 內容 我們發現，每多一根柱，就會多一個分盤的機會，這樣會讓最少的步數減少得很快。以64盤的遊戲而言，移動1盤若需1秒，三根柱需2^64－1秒，合計約5849億年；經過我們的計算，四根柱就減少成188433秒，共計5小時7分又13秒；而五根柱只需1535秒，只需要花25分35秒；六根柱只要673秒，竟然只需11分13秒。我們也找出了多根柱的規律，發現每多一盤的步數差，有2的次方變化與規律。我們將2的次方步數差個數分析製表如下 | 李新智 |
| 8 | 作者 李新智 標題 三根柱的規律 內容 一、三根柱的規律 我們發現要完成河內塔的遊戲，有其規律性。例如要完成5盤的遊戲，必需先在分盤柱上完成4盤，要完成4盤，需先完成3盤，要完成2盤，需先完成1盤。當底盤移到終點柱之後，再重複上述的步驟一次。因此，5盤最少步數是由4盤最少步數乘2再加1；4盤最少步數是3盤最少步數乘2再加1，3盤最少步數是2盤步數乘2再加1，依此類推。 | 李新智 |
| 7 | 作者 楊皓程 標題 研究動機與目的 內容 一、 研究動機 二年半前學長姐們看了「猩球崛起 」這部電影時，知道了河內塔這個遊戲，我們接續了這個數學習題的探究。也是機緣巧合，書商剛好送了一個三根柱5盤的河內塔遊戲道具到學校，就這樣讓我們展開了河內塔的探索之旅。我們就在想，那第一個玩河內塔的人，或沒玩過河內塔的人，怎麼知道自己有走出了最少的步數？如果把可移動的柱子增加，最少的步數會不會有差別？ 二、 研究目的 三根柱64盤的遊戲，最少步數是264－1步，三根柱的解題過程並沒有難倒我們，雖然我們並沒有真的把264這個數值算出來，但我們發現了河內塔的一些解題關鍵，這股解題的熱情，很自然的擴展到多根柱的公式解。 但老師立刻澆了我們一頭冷水，老師說河內塔多根柱是無解的，很多大學教授都建議國中小科展不要再做河內塔了。而且Ben Houston & Hassan Masum在2004年發表”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi”這篇論文 ，他們認為四根柱以上的河內塔是百年來無解的。因此，我們研究目的非常清楚明確，就是要解開這百年來的謎團，推導出簡單好用的多根柱公式。 | 楊皓程 |
| 6 | 作者 楊皓程 標題 研究過程與方法 內容 依據最佳分盤法，多根柱的「步數差」規律形成了一個「巴斯卡三角形」數列。我們應用的方式不同於其他相關研究的「遞迴」結構，改以組合數來表示巴斯卡三角形內的數值，這讓我們所推導出的河內塔多根柱通式解，無論幾根柱都適用，解決了國內外相關研究的最大問題：不同柱數會有不同的公式解，而且求n根柱公式，需先將n－1根柱的公式找出來！ 因為我們所推導出的通式解簡單好操作，所以我們用 java 語法寫成網頁程式，可提 供國內外相關研究者參考！ 河內塔基本架構是有三根柱子，起始柱子上有大小不同的盤子。遊戲規定一次只能拿起一個盤子，而且小盤一定要放在大盤上。遊戲的最終目標是要把所有的圓盤，都移到最後一根的終點柱上。我們先找出三根柱的走法與規律，之後再找出四根柱，五根柱，六根柱，多根柱的規律。 要完成4盤，需先完成3盤，要完成2盤，需先完成1盤。當底盤移到終點柱之後，再重複上述的步驟一次。因此，5盤最少步數是由4盤最少步數乘2再加1；4盤最少步數是3盤最少步數乘2再加1，3盤最少步數是2盤步數乘2再加1，依此類推。 規律1：是利用前盤（m－1盤）最少步數乘2再加1 規律2：是用所有步數差之和，即可算出n根柱m盤的最少步數。 | 楊皓程 |
| 5 | 作者 黃奕誠 標題 討論 內容 依據我們所整理出的規律，我們試著將三根柱與多根柱的公式解，一一的推導出來，分別討論如下。 一、三根柱公式 有三根柱（n = 3），m個圓盤，我們利用規律2所有步數差之和，求最少步數S3(m)為： 1盤：1 2盤：1+2 3盤：1+2+4 4盤：1+2+4+8 m盤：1+2+4+8+……+2^m-1 假設最少步數為 S3(m)，所以：S3(m)=1+2+4+8+……+2^m-1 ………(1) 將(1)*2得： 2 S3(m)=2+4+8+……+2^m-1+2^m………(2) 我們將(2)－(1)得到最少步數：S3(m)=2^m－1 # 二、多根柱公式（n≥ 3） 我們發現，不同柱數的步數差Dn( 2x )個數規律，讓（表十三）形成了一個巴斯卡三角形。所以我們只要把這個三角形所構成的數值用公式表示出來，就可以解開四根柱以上的公式解。 | 黃奕誠 |
| 4 | 作者 黃奕誠 標題 我們的貢獻 內容 我們的貢獻整理如下： 一、最基本的演算法解題：我們用土法鍊鋼的方式，排出了四根柱的最佳分盤法，這是推導 多根柱最少步數的核心基礎。沒有繁雜的算式推導與演算，只要具備國二所學的數列與 級數的觀念就能理解，容易讓初學者實際操作，比國內外相關研究更容易上手。 二、n根柱m盤的通式解：我們找出來的是n柱m盤公式通式解。不同於國內外相關研究，對於 不同柱數會有對應的柱數公式。且n根柱公式，需先找出n－1根柱的公式。 三、巴斯卡三角形的應用：三角形內的數列，我們應用的方式不同於其他相關研究的「遞迴」結構，我們改以組合數來表示巴斯卡三角形內的數值。這也是我們的通式解能獨立操作，沒有要算五根柱公式需先算出四根柱公式，四根柱公式需先算出三根柱公式的問題。這也是我們的通式解簡潔明白的原因。 四、提供多根柱網頁程式：因為我們所推導出的公式簡單好操作，所以很容易用java語法將河內塔多根柱的公式寫成網頁程式，不需遞迴的反覆計算。可提供相關研究者參考！ 最後，我們將n根柱m盤的通式解，整理如下： （一）n =1，無解 （二）n =2，m=1，S2(1) =1；當m >1，無解。 （三）n =3，Sn(m) =2^m－1 （建議 n =3時，用這個公式，比較好算） （四）n ≥3，先求出m盤落在那個2^x步數差之k值。（n =3時也可用這公式） k值公式：（其中a = n－3） 通式解：Sn(m)＝ .....請看上傳的pdf檔 | 黃奕誠 |
| 3 | 作者 黃奕誠 標題 參考資料 內容 第一章數列與級數康軒數學第四冊 河內塔的起源九章出版社 柱咒毀滅－探討河內塔柱數增加與搬運次數之關係四十四屆中小學科學展覽 高中 作者 黃祈昌田慈安陳福誌王文忻 民100 中華民國第 51屆中小學科學展覽國中組數學 作品 n 柱河內塔的策略研究與最佳化通式的尋找 推倒河內塔多根柱子就夠啦花蓮縣第53屆國中小科展 河內塔多根柱探討103年花蓮縣國中小扶輪盃小論文競賽 自然領域 | 黃奕誠 |
| 2 | 作者 姜婷媁 標題 最佳分盤法 內容 二年半前學長姐接觸河內塔的偶然，已找出了一個解題的架構，我們接手之後，也傳承了學長姐的精神，在不斷的努力與推展之下，解開了Ben Houston & Hassan Masum所說的百年歷史謎團，他們認為四根柱以上的河內塔是無解的。將近三年來的用心研究，我們找出了多根柱分盤的規律性，所發現的規律1，是解開河內塔多根柱最少步數的基礎核心，簡單易懂。 河內塔多根柱研究所需面對的最大問題就是分盤方式有太多種，如何找出最佳的分盤法，就是解開多根柱河內塔的關鍵。我們找出了最少「步數差」的依序分盤方式，很容易就建構出了一個巴斯卡三角形數列，有別於國內相關研究的繁雜。而2x步數差個數的表示法， 更是我們解出多根柱公式的創意發想。 | 姜婷媁 |
| 1 | 作者 楊皓程 標題 河內塔四、五、六根柱及不限柱數分盤法 內容 四根柱的規律： 四根柱的河內塔也有其規律性，我們發現最少的步數有明顯的減少，原因為多一根柱，就可以將圓盤先分配在2根分盤柱上，不同於三根柱只能將圓盤分在1根分盤柱上。例如要完成3盤的遊戲，就不需要先完成2盤，可以先將2盤分成1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤）。因為1盤只需1步，所以四根柱的3盤只需S4(3)=2*1+2*1+1=5步。 例如四根柱4盤，可將底盤以上的3盤先分成（2盤，1盤）、（1盤，2盤）、（3盤，0盤）及（0盤，3盤）4種數對型式。 五根柱的規律及最佳分盤法： 五根柱的河內塔也和四根柱一樣有其規律性，可以將圓盤分配在3根柱上，不同於四根柱的2根分盤柱，三根柱的1根分盤柱。因為五根柱有3根分盤柱，需要的步數減少更多。例如要完成4盤的遊戲，就可以先將底盤上的3盤分成1盤、1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤，1盤）。數對（4盤，1盤，1盤）的「敘述」為：五根柱的4盤與四根柱的1盤及三根柱的1盤。最小步數S5(7) =2*7+2*1+2*1+1=19步。 六根柱的河內塔也和五根柱一樣有其規律性，可以將圓盤分配在4根柱上。因為六根柱有4根分盤柱，需要的最少步數減少更多。例如要完成5盤的遊戲，就可以先將底盤上的4盤分成1盤、1盤、1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤，1盤，1盤）。所以六根柱5盤的步數 S6(5)=2*1+2*1+2*1+2*1+1=9步即可完成。 依數學歸納法，我們也可以利用此方法算出不限柱數不限盤數的河內塔公式解。 | 楊皓程 |
| 序號 | 封面 | 簡介（摘要） | 上傳者 |
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| 5 |  | 書名 愈玩愈聰明IQ遊戲大百科2 作者 秋山仁 出版社 親子天下 簡介（摘要） 和日本數學大師秋山仁一起來做頭腦體操 立方體、智慧環、河內塔、滑塊遊戲等 動腦玩動手做 發揮想像力 享受益智遊戲的樂趣 讓自己的大腦完全運轉吧!本書匯集古今中外最有創意的立方體及移動類遊戲，挑戰小玩家的腦力 導讀 42跳跳蛙大搬家 44單線鐵道 46河內塔 49附錄 50方便好用的樣紙 53益智遊戲的解答 | 李新智 |
| 4 |  | 書名 Visual C# 2012程式設計16堂特訓 作者 李啟龍 出版社 上奇資訊 簡介（摘要） 精心設計了動態的「氣泡排序法演示視窗程式」、「河內塔解題演示程式」，讓讀者可以觀察到在程式進行中，各個資料項目的改變狀況，藉由演示過程來幫助老師在課堂上進行教學或是讀者進行自修。 導讀 CH01 認識C# 與安裝Visual Studio Express 2012 CH02 主控台應用程式 CH03 視窗應用程式 CH04 資料型態與運算符號 CH05 判斷流程控制 CH06 迴圈流程控制 CH07 常用的Visual 元件I CH08 常用的Visual 元件Ⅱ CH09 陣列概念與用途 CH10 排序與搜尋 CH11 檔案輸入與輸出 CH12 方法 CH13 例外處理 CH14 物件導向及類別 CH15 C# 專題應用 CH16 軟體部屬 | 姜婷媁 |
| 3 |  | 書名 河內塔 作者 九章出版社 出版社 九章出版社 簡介（摘要） 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事(也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲之神秘色彩而捏造的)。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中必須保持金屬片由上至下是直徑由小至大的次序，也就是說不論在那一根木釘上，圓環形的金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 導讀 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事(也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲之神秘色彩而捏造的)。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中必須保持金屬片由上至下是直徑由小至大的次序，也就是說不論在那一根木釘上，圓環形的金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 | 姜婷媁 |
| 2 |  | 書名 數學悠哉遊 作者 許介彥 出版社 三民出版社 簡介（摘要） 你知道離散數學學些什麼嗎？你有聽過鴿籠（鴿子與籠子）原理嗎？你曾經玩過河內塔遊戲嗎？本書從生活上輕鬆簡單的主題帶領您認識離散數學的世界，並且如何以基本的概念出奇地解決生活上的問題。 導讀 我們還要帶您從不同的角度來欣賞數字的神祕與奇趣，不管您的數學程度如何，只要具備中學的數學知識，就能與我們一同悠哉地遨遊離散數學與數論的天堂，快跟我們一起行動吧！ | 楊皓程 |
| 1 |  | 書名 數學解題王3 作者 柳已韻 出版社 三采 簡介（摘要） ．幾何圖形 ．內角和 ．費氏數列 ．數字陣列 ．一筆劃問題 ．河內塔問題 導讀 為了拯救被綁架的圖形國公主， 道奇和小瑜聯手破解了邊境的難關， 進入霧氣森林裡後卻又遭到怪物襲擊！ 突然出現一位怪老人出手相救， 沒想到這位竟然是退隱多年的魔法師！ 道奇誤打誤撞的成為大魔法師的繼承人， 接下了與魔導師凱布對決的任務…。 | 黃奕誠 |
| 序號 | 截圖 | 網站簡介 | 上傳者 |
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| 20 |  | 網站名稱 [資料結構(Data Structure, DS) 教學 教程 教材 Tutorial] 基礎遞迴 - 河內塔 網址 http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php 網站簡介 有3根直立的木棒(A, B, C)，最左邊的木棒(A)有n個由小到大的盤子 將全部盤子由最左邊的棒子移到最右邊(A → C) 一次只能移動一個盤子 較大的盤子不能放在較小的盤子上面 ⇒ 只能移動最上面的盤子 | 黃奕誠 |
| 19 |  | 網站名稱 河內之塔(Towers of Hanoi) 網址 http://openhome.cc/Gossip/AlgorithmGossip/HanoiTower.htm 網站簡介 河內塔的說明,解法,實作和演算法 | 黃奕誠 |
| 18 |  | 網站名稱 河內塔玩具 網址 https://tw.bid.yahoo.com/item/%E3%80%90%E8%B4%88%E5%93%81%E7%A6%AE%E5%93%81%E3%80%91A1050-TOWER-OF-HANOI-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94-%E6%95%99%E5%85%B7-%E7%9B%8A%E6%99%BA-100035665572?co_servername=aFS&co_servername2=aFS 網站簡介 認識顏色、大小：認識各種色彩的圓形配件，亦可延伸作尋找顏色的遊戲，或將各配件依大小排列，強化顏色和大小概念。 手眼腦套桿平衡訓練：將配件一一套在木桿上，沒有限定玩法，配件間相互搭配，啟發幼兒動手、動腦，訓練手眼腦，或者進階不用木桿，直接堆疊，訓練兒童平衡力。 河內塔遊戲：遊戲時可利用木桿交互移動套環，但一次只能移動一個，且大的套環不可置於小套環上。 ※通過玩具安全鑑定委員會認可之安全玩具 傳說在古印度神廟前，有三根木樁，其中一根木樁有64片金屬片，當金屬片依規則 從指定的木樁上全部移動至另一根木樁上，世界末日及隨之到來，萬物都將至極樂 世界。那一天真的會來臨嗎? | 黃奕誠 |
| 17 |  | 網站名稱 河 內 塔 網址 http://w2.loxa.com.tw/kevin228/club/game/town/town.htm 網站簡介 河內塔問題 這是一個流傳很久的遊戲: 1.有三根桿子A,B,C。B桿上有若干碟子 2.每次移動一塊碟子,小的只能疊在大的上面 3.把所有碟子從B桿全部移到A桿上 | 黃奕誠 |
| 16 |  | 網站名稱 河內塔教學.mpg 網址 https://www.youtube.com/watch?v=b_Ttds3dx0Q 網站簡介 這是當時由王朝安主任指導拍攝的第一代河內塔教學影片，為了讓校內更多小朋友可以學習河內塔的遊戲規則所攝製。 | 李新智 |
| 15 |  | 網站名稱 「主控台」河內塔解法 - fcxz的小倉庫 - 樂多日誌 網址 http://reader.roodo.com/fcxz/archives/17974845.html 網站簡介 「左」桿上有N個(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。 要求按下列規則將所有圓盤移至「右」桿 規則： 1.每次只能移動一個圓盤 2.大盤不能疊在小盤上面。 | 姜婷媁 |
| 14 | | 網站名稱 雙色、三色河內塔 - OpenHome.cc 網址 http://openhome.cc/Gossip/AlgorithmGossip/MultiColorHanoiTower.htm 網站簡介 無論是雙色河內塔或是三色河內塔，其解法觀念與之前介紹過的河內塔是類似的，同樣也是使用遞迴來解，不過這次遞迴解法的目的不同，我們先來看只有兩個 盤的情況，這很簡單，只要將第一柱的黃色移動至第二柱，而接下來第一柱的藍色移動至第三柱。 | 楊皓程 |
| 13 | | 網站名稱 Infinite Loop: 【演算】河內塔 - Tower of Hanoi 網址 http://program-lover.blogspot.tw/2008/06/tower-of-hanoi.html 網站簡介 河內塔問題(Tower of Hanoi)是由法國數學家盧卡斯(Édouard Lucas)引進的數學謎題：在 3 根桿子中，有 1 桿上有 N 個從下數起由大而小的穿孔圓盤。在每次只能移動一個圓盤，且大盤不能疊在小盤之上的規則之下，你需要以最少的次數將這 N 個圓盤全部移到另一根桿子上。 | 楊皓程 |
| 12 | | 網站名稱 河內塔(Tower of Hanoi) @ 小殘的程式光廊 :: 痞客邦 PIXNET :: 網址 http://emn178.pixnet.net/blog/post/87877439-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94(tower-of-hanoi) 網站簡介 1.有三根竿子，例如編號為A、B和C，竿子上面可串中空圓盤。 2.於A竿子放入N個盤子開始，盤子由下至上變小。 3.一次只能移動一個盤子。 4.大盤子不能再小盤子上面。 5.目標將全部盤子移動到C竿子。 | 楊皓程 |
| 11 | | 網站名稱 河內塔遊戲規則 網址 http://www2.hkedcity.net/sch_files/a/tc/tc-math/public_html/hanoi_inst.html 網站簡介 在遊戲開始時, 你會看見n個(遊戲者可自行在disks中設定)不同大小的圓餅放在同一棒上。你要將這n個圓餅由所示的第一枝棒移到第三枝棒上, 而第二枝棒則只用作過度棒。遊戲的唯一守則是較大的圓餅不能放在較小的圓餅上頭。 | 姜婷媁 |
| 10 | | 網站名稱 「Zen Hanoi」耗費腦力的河內塔遊戲，將圓盤全數歸位吧！（iPhone, Anodrid） _ 重灌狂人 網址 https://briian.com/30658/zen-hanoi.html 網站簡介 你聽說過或玩過「河內塔」遊戲嗎？它是一款與數學相關的益智遊戲，由法國數學家愛德華‧盧卡斯（Edouard Lucas）所發明，而且它有個與古老印度有關的神祕傳說，不過也有人說這或許只是為了讓這個數學遊戲更加有趣而自創的故事，有興趣的朋友可以自行搜尋了解一下哦！ | 楊皓程 |
| 9 | | 網站名稱 河內之塔 - 搬搬樂 網址 http://oddest.nc.hcc.edu.tw/math183.htm 網站簡介 當你根據規則不斷的移動著盤子後，無論你將盤子放到哪個位置？或者發現整疊的盤子移錯柱子後，又得全部搬到另一枝柱子之時，你是否感覺到達成最低搬運次數的口訣了？『指定位置、雙異單同、毫無虛步！』，就讓我們來看看這兩個口訣！ | 姜婷媁 |
| 8 | | 網站名稱 遞迴分析與河內塔 @ 數學 :: 五夢網 網址 http://www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno=26283 網站簡介 盤子上豎立著三根鑽石製成的棒子萬能的上帝波羅摩（Brahma）在其中一根鑽石捧上放置了六十四個大小都不相同的金圈，這些金圈是依大在下小在上順序地疊放著，叫河內塔。 | 楊皓程 |
| 7 | | 網站名稱 Infinite Loop: 【演算】河內塔 - Tower of Hanoi 網址 http://program-lover.blogspot.tw/2008/06/tower-of-hanoi.html 網站簡介 河內塔問題(Tower of Hanoi)是由法國數學家盧卡斯(Édouard Lucas)引進的數學謎題：在 3 根桿子中，有 1 桿上有 N 個從下數起由大而小的穿孔圓盤。在每次只能移動一個圓盤，且大盤不能疊在小盤之上的規則之下，你需要以最少的次數將這 N 個圓盤全部移到另一根桿子上。 | 楊皓程 |
| 6 | | 網站名稱 河內塔 :: 國立中央大學物理演示實驗 網址 http://demo.phy.tw/experimentfinal/other/tower-of-hanoi/ 網站簡介 這是一個古老而迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。 | 李新智 |
| 5 | | 網站名稱 河內塔問題 - 教育大市集 網址 https://market.cloud.edu.tw/content/senior/computer/ks_ks/book/algodata/algorithm/algo44.htm 網站簡介 我們在討論遞迴的觀念時，只是單純討論到遞迴的技術以及與疊代法(iteration)的比較。然而遞迴在解決某些問題時也確實有它獨到之處，其中法國數學Lucas在1883年所提出的「河內塔」問題，最能傳神貼切的點出遞迴法的特別之處。 | 楊皓程 |
| 4 | | 網站名稱 河內塔之深入研究 網址 http://www.ymhs.tyc.edu.tw/library/paper/fileList/%E6%A5%8A%E6%A2%85%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E5%A0%B1%E7%AC%AC1%E6%9C%9F/04.%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%E4%B9%8B%E6%B7%B1%E5%85%A5%E7%A0%94%E7%A9%B6--%E8%A8%B1%E6%8A%80%E6%B1%9F(p.29-42).pdf 網站簡介 歸納研究基礎成果 三層河內塔的移動情形：以數字表示，較小者表示小圓盤。各數字維持 同一高度（不像實際圓盤放在柱底），以利觀察。 | 李新智 |
| 3 | | 網站名稱 河內塔 - 高雄醫學大學 心理學系 網址 http://www.psy.kmu.edu.tw/~choco/Hanoi.html 網站簡介 相信許多人都有玩過河內塔『Tower of Hanoi』的經驗，在不斷搬移的過程中，必須遵循 著一定的遊戲規則：上方的環一定要比下方的小，且一次只能搬動一個環。 但是否我們只能不斷嘗試、碰運氣，最後幸運地搬完所有的環?還是說，有其他的規律可循 ? | 楊皓程 |
| 2 | | 網站名稱 河內塔 - -= 九章數學出版社 =- 網址 http://www.chiuchang.com.tw/toy/hanoi/hanoi.html 網站簡介 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。 | 李新智 |
| 1 | | 網站名稱 河內塔 - 維基百科，自由的百科全書 網址 https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94 網站簡介 河內塔是根據一個傳說形成的數學問題 有三根杆子A，B，C。A杆上有N個(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規則將所有圓盤移至C杆： 1.每次只能移動一個圓盤； 2.大盤不能疊在小盤上面。 問：如何移？最少要移動多少次？ | 楊皓程 |
| 序號 | 書面報告 | 說明 | 上傳者 |
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| 1 | | 說明 壹、前言 一、研究動機 二、研究目的 三、研究方法與架構 貳、正文 一、三根柱的規律 二、四根柱的規律及分盤 三、五根柱的規律及分盤 四、六根柱的規律及分盤 參、結論 一、多根柱步數差的規律 二、巴斯卡三角形 三、多根柱公式 四、結論與貢獻 肆、引註資料 | 楊皓程 |
| 序號 | 書面報告 | 說明 | 上傳者 |
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| 4 |  | 說明 步數差個數規律表 | 楊皓程 |
| 3 | | 說明 2015河內塔小論文 | 楊皓程 |
| 2 |  | 說明 河內塔程式 | 楊皓程 |
| 1 | | 說明 四根柱~六根柱64盤分盤法及其步數差個數 | 楊皓程 |
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