三角形邊角與相似形之探究

專題名稱 三角形邊角與相似形之探究

專題描述 我在升國中一年級的暑假，參加學校辦的數學營隊，彩鳳老師的課中裡面有談到一個一題多解的問題，讓我想知道這一題的不同解法，如果是不同角度變化的類型，解法又是如何?

隊伍名稱 自強棒棒棒棒

指導老師 鄭凱文　陳禹翔

參賽學生 張騰達　　　

序號檔案內容上傳者
10作者 葉東進
來源 數學傳播
描述 cos nθ、sin nθ 表為 cos θ 與 sin θ 的多項式		張騰達
9作者 花娟秀
來源 數學傳播
描述 三角函數的題目		張騰達
8作者 郭正義
來源 數學傳播
描述 三角函數的題目		張騰達
7作者 朱哲
來源 數學傳播
描述 兩角和與差的三角函數		張騰達
6作者 楊孝斌
來源 數學傳播
描述 三角學的歷史對任意角三角函數的教學啟示
三角學的發展歷史表明, “比”的關係一直貫穿著整個三角學的發生發展史, 三角函數的定義的本質應是“三角比”, 即與角有關的線段 (或有向線段) 之比。 國中的銳角三角函數是採用“三角比”來定義的, 這正是初高中三角函數知識的銜接點。 高中討論的是任意角的三角函數的定義, 主要以平面直角坐標系中點的坐標為研究工具。 點的坐標並不是三角函數的定義中的最本質的東西, 最本質的是“比”的關係。 教師在教學中應開展基於三角學發展史的教學設計, 幫助學生理解任意角三角函數定義的本質		徐彥哲
5作者 九章數學教育基金會
來源 九章數學
描述 解三角形
1.三角函數值
2.解直角三角形
3.解斜三角形		陳禹翔
4作者 南一高中物理課程中的數學工具書
來源 南一學習網
描述 透過計算機的直角三角比（tan A、sin A、cos A），幫助解決生活中的應用問題		陳禹翔
3作者 陳嘯虎
來源 95課綱2-2-1三角函數的基本概念-銳角三角函數
描述 在介紹銳角三角形的三角函數性質		陳禹翔
2作者 林信安
來源 學術研究/上課講義
描述 正弦定理和餘弦定理的介紹		陳禹翔
1作者 南一書局
來源 南一學習網
描述 三角函數的課文內容		陳禹翔

序號封面照內容說明上傳者
5類別 相簿集
名稱 使用幾何繪圖軟體GSP
說明
我想要用GSP將我的研究內容做成動態，這樣就能能驗證我的想法對不對。		張騰達
4類別 相簿集
名稱 將45度角一般化
說明
原本題目的解是利用角A=角B+角C，其實角B底邊不一定要固定為2，角C底邊不一定要固定為3，只要符合相乘起來為固定值就可以了，所以將三角形一般化(只要相似形就可以)。		張騰達
3類別 相簿集
名稱 嘗試算出角度之間是否有相關性
說明
原本希望看到拆開來後的兩個角度，會與原本角度之間存在倍數關係或邊長比關係，但是後來發現似乎沒有		張騰達
2類別 相簿集
名稱 證明解的唯一性
說明
我們證明了如果要將任意角度拆成兩角之和，只需利用相似形的做法就可達成		張騰達
1類別 相簿集
名稱 上傳資料與檔案
說明
今天把已經整理好在電腦的資料全部傳到網站上面去		張騰達

序號內容上傳者
10作者 張騰達
標題 結論
內容
一、給定任意 a>0、∠A=90°、△ABC 為等腰直角三角形、令 (CD) =m 與 (CE) =n 。m×n=2×a^2若且為若∆BCD∼∆ECB。
二、給定 a=1、∠B 為任意角、△ABC 為直角三角形、令 (CD) =m 與 (CE) =n 。m×n=1⁄(cos^2⁡(θ))若且為若∆BCD∼∆BEC。
三、在猜想中我們都多了 m<(CB) 這個條件，是因為我們在實作過程中發現當 m=(CB) 時，∆BCD 與 ∆ECB 將會完全重和，m>(CB) 時 m>n 將會與圖形不符，故加上此條件。但沒有這條件完全不影響我們的猜想，由m×n 會是一個定值也可得知。
四、在往後的研究中能從第二個猜想開始，使a變為任意數與b為任意角去做研究發展，並希望能回到探討角度和或是角度間的關係是否可以有更多方式去做等分角。

張騰達
9作者 張騰達
標題 探討這個題目裡的相似三角形
內容
用相似形的解題方式，將會得到我們都是先透過邊長比的關係再進行角度的計算，那麼如果相似形真的成立的狀況下，我們將探究其邊與邊的關係。

張騰達
8作者 張騰達
標題 用正切函數探討這一題的算法
內容
∠A=45°，∠B+∠C=?
tan⁡(B+C)
=(tan⁡B+tan⁡C)/(1-tan⁡B tan⁡C )
=(1/2+1/3)/(1-1/6)
=(1/6)/(1/6)
=1
∴∠B+∠C=45°⇒∠A+∠B+∠C=90°

張騰達
7作者 張騰達
標題 用正弦函數探討這一題的算法
內容
∠A=45°，∠B+∠C=?
⁡sin⁡(B+C)
=sin⁡B cos⁡C+cos⁡B sin⁡C
=1/√5⋅3/√10+2/√5⋅1/√10
=5/√50
=1/√2
∴∠B+∠C=45°⇒∠A+∠B+∠C=90°

張騰達
6作者 張騰達
標題 用餘弦函數探討這一題的算法
內容
∠A=45°，∠B+∠C=?
cos⁡(B+C)
=cos⁡B cos⁡C-sin⁡B sin⁡C
=2/√5⋅3/√10-1/√5⋅1/√10
=5/√50
=1/√2
∴∠B+∠C=45°⇒∠A+∠B+∠C=90°

張騰達
5作者 張騰達
標題 上傳書面報告
內容
今天是最後一天了，我終於把書面報告趕完了。

張騰達
4作者 張騰達
標題 終於快好了
內容
今天終於把相關連結和檔案庫趕完了，好累啊!早知道在暑假的時候就認真做了

張騰達
3作者 張騰達
標題 研究動機與目的
內容
研究動機
我在升國中一年級的暑假，參加校內舉辦的數學營隊，裡面有談到一個角度和的問題，讓我想知道這一題會不會有其他解法？如果是不同角度的話，會有解嗎，解法又是如何？最後我想把題目延伸，如果我把角度和個數增加，希望能找到一個模式去解決這種問題。
研究目的
(一)探討這一個題目的其他解法。
(二)探討這一題使用相似形解法是否可以推廣到其他角度？
(三)探討這一個題目原本拆成兩個角，那有可能拆成三個角或更多角嗎？

張騰達
2作者 張騰達
標題 要趕工了!
內容
在上星期，我原本的帳號被刪了，一直處理到今天，終於有找到一支帳號，是別人放棄不做的，所以我拿來用。但是只剩沒幾天了，我的資料還是一大塊空白，所以我要把一秒鐘當一分鐘用，要趕工了!

張騰達
1作者 張騰達
標題 第一次做小論文
內容
這次是我第一次做小論文，而且是我自己一個人做。因為沒有隊友的陪伴，我遇到了很多瓶頸，而且老師不可能只顧我的小論文，所以我遇到了不會的地方只能先跳過，但是老師來了又忘記問，所以就有很多問題累積起來。我現在學到了很多東西，在做小論文的同時，我發現小論文做久了後，就比較容易上手。

張騰達

序號封面簡介（摘要）上傳者
5書名 高中數學經典題選：三角函數與平面向量
作者 甘志國
出版社 浙江大學出版社
簡介（摘要）
本書博采各地優秀的高考試題，啟發學生的思維；試題蘊含深刻的思想，凝練解題的通性通法；問題經典，適合高考：自主招生的學生使用。讓學生在經典的題目中，盡情掌握知識的力量。
導讀
第一章三角函數
第一節三角函數的概念
一、角的定義（2題）
二、平面直角坐標系中角的定義（11題）
三、弧度的定義、孤長公式（10題）
四、三角函數的定義（18題）
五、三角函數線與三角不等式（3題）
六、綜合題（6題）
第二節同角三角函數與誘導公式
一、同角三角函數的關系（15題）
二、誘導公式（20題）
三、綜合題（25題）
第三節三角函數的化簡與求值
一、和差倍半公式（11題）
二、化簡或變形（58題）
三、已知三角函數值求角（12題）
四、綜合題（39題）
第四節三角函數的圖象與性質
一、三角函數圖象的畫法（3題）
二、三角函數的圖象性質（7題）
三、由三角函數的圖象求解析式（5題）
四、三角函數圖象的變換（9題）
五、三角函數式的化簡（9題）
六、三角函數的性質（42題）
七、綜合題（35題）
第五節解三角形
一、正弦定理（12題）
二、余弦定理（8題）
三、解決實際問題（5題）
四、綜合題（42題）
第六節三角函數的綜合應用
一、三角函數綜合題（76題）
二、三角與函數性質（26題）
三、三角函數與數列（4題）
四、三角函數與向量（10題）
五、三角函數與不等式（8題）
六、三角函數與解析幾何（4題）
第二章平面向量
第七節平面向量的概念及運算
一、向量的概念（7題）
二、向量的線性運算（20題）
三、綜合題（13題）
第八節平面向量的坐標運算
一、向量的坐標表示（9題）
二、向量的夾角（16題）
三、向量的模（4題）
四、綜合題（11題）
第九節平面向量的數量積
一、數量積的定義（22題）
二、數量積的坐標表示（13題）
三、綜合題（5題）
第十節平面向量的綜合應用
一、向量的線性運算（10題）
二、向量的數量積（19題）
三、向量的模（6題）
四、向量與三角形的四心（16題）
五、綜合題（47題）		張騰達
4書名 數學女孩秘密筆記：圓圓的三角函數篇
作者 結城浩
出版社 世茂
簡介（摘要）
三角形與圓形有不為人知的關係！
　　三角形→圓→螺旋，
　　透析圖形本質、釐清觀念！
　　平面座標→向量→函數，
　　融會貫通，掌握脈絡！
　　提問→算式→本質，
　　介紹「波利亞解題」，教你學習的方法！
　　數學女孩再次帶你深入數學，由淺入深
　　高中數學的瓶頸，輕鬆突破！
　　座標平面、圖形與向量，都是表示點的方法，
　　它們各自適合解什麼樣的題目呢？
　　利薩如圖形(Lissajous)有多巧妙？
　　sin的記憶方法是什麼？
　　函數、圖形、向量的關聯！
　　求圓周率的概略值，助你了解三角函數！
　　正九十六邊形的奧秘大公開！
　　米爾迦、蒂蒂、由梨，
　　攜手波利亞、阿基米德，
　　變換圖形、把玩公式，
　　讓數學幻化成青春的蝶影，
　　教人不得不迷戀、追求！

導讀
序章ix
第1章圓圓的三角形1
1.1 在圖書室1
1.2 直角三角形2
1.3 角的表示法4
1.4 頂點與邊的表示法6
1.5 sin 9
1.6 sin的記憶法14
1.7 cos16
1.8 拿掉限制19
1.9 sin曲線30
第1 章的問題50
第2章來來回回的軌跡53
2.1 我的房間53
2.2 畫成圖形61
2.3 往前一點，會有什麼變化？ 75
2.4 往後一點，會有什麼變化？ 76
2.5 變成兩倍，會有什麼變化？ 80
2.6 畫出各種圖形95
第2 章的問題105
第3章繞世界一圈107
3.1 在圖書室107
3.2 向量115
3.3 向量的實數倍119
3.4 向量的加法121
3.5 旋轉123
3.6 點的旋轉128
3.7 利用座標129
3.8 我們的問題133
3.9 x 軸上的點134
3.10 y 軸上的點145
第3 章的問題158
第4章計算圓周率161
4.1 我的房間161
4.2 圓周率162
4.3 圓面積165
4.4 圓周率的計算法169
4.5 半徑為10 的圓171
4.6 半徑為50 的圓179
4.7 求更精確的圓周率183
4.8 運用阿基米德的方法求圓周率184
4.9 使用正九十六邊形的理由187
4.10 由內接正n 邊形求外切正n 邊形189
4.11 內接正n 邊形196
4.12 由內接正n 邊形求內接正2n 邊形199
4.13 終於得到3.14 208
第4 章的問題220
第5章繞著圈子前進221
5.1 在圖書室221
5.2 和角定理223
5.3 從單位圓開始226
5.4 波利亞的提問232
5.5 解出問題的一部分233
5.6 回顧解題過程246
5.7 表示旋轉的公式251
5.8 矩陣255
5.9 旋轉公式258
5.10 新的觀點268
第5 章的問題272		張騰達
3書名 毛起來說三角
作者 Eli Maor
出版社 天下文化
簡介（摘要）
聽到三角，絕大多數人的腦海可能馬上就閃過一大堆θ、φ、sin、tan、csc、半角公式、倍角公式、和化積、積化和、……，管它實不實用，「卯」起來背就對了，還可以「說」些什麼呢？如果你真的這麼認為，以為三角學只是一個又一個函數與公式，那可大錯特錯了！
　　學校裡，從沒有人告訴你三角的歷史和生命，也沒有人告訴你三角和人類文明如何緊緊相扣；從古埃及的金字塔、砲彈的射程、精確地圖的誕生，到天文測量，全都離不開三角。其實，三角學與現實世界是密不可分的。
　　為了傳達這個觀念，本書作者毛爾教授捨棄教科書式的枯燥寫法，「毛」起來說了許多關於三角的小故事；透過這本書，你將目睹三角學如何從埃及金字塔裡萌芽、從古希臘乃至中世紀天文學家的手中茁壯，你也將認識許許多多偉大的數學家，跟隨他們的腳步，踏進有趣的三角殿堂，一探平面三角學背後的無窮樂趣。
導讀
序 平面三角學的喜悅　　　毛爾 一
編輯說明 六
前言 書記阿美斯 1
古埃及的數學娛樂 13
第1章 角 19
第2章 弦 25
普林頓322：最早的三角函數表？ 37
第3章 六個函數粉墨登場 43
雷吉蒙塔努斯 53
第4章 解析三角學出現了！ 66
維埃塔與四十五次方程式 73
第5章 量天度地 82
打敗牛頓的棣美弗 104
第6章 兩個幾何定理 114
第7章 外擺線與內擺線 124
阿涅西和她的「女巫」 138
第8章 高斯的啟示 144
第9章 倘若芝諾早知道這件事！ 151
第10章 （sin x）／x 166
第11章 非凡的公式 178
利撒求和他的圖形 185
第12章 tan x 191
第13章 地圖製作者的樂園 210
第14章 sin x＝2：複三角學 230
蘭道：嚴謹大師 243
第15章 傅氏定理 251		張騰達
2書名 數學大觀念
作者 亞瑟‧班傑明
出版社 貓頭鷹
簡介（摘要）
橫跨國中到大學，十二個數學重要單元
以「數學中玩出魔術」知名的美國數學教授亞瑟‧班傑明，這次將不只是玩耍數學魔術，他要你完全弄懂數學到底在搞什麼。本書涵蓋了以下從國中到大學的所有重要數學章節：
1. 數字的意義
2. 代數的變換
3. 特別數字「9」
4. 排列組合
5. 費氏數列
6. 數學證明法
7. 幾何的推導
8. Π
9. 三角函數
10. 根號負一「i」和「e」
11. 微積分
12. 無窮級數
導讀
你可以從第9章267頁開始讀起，他先介紹三角學的高峰，再來介紹三角學與三角形、圓形的關係，最後講恆等式和三角圖。		張騰達
1書名 普通高中數學第三冊(翰林出版)
作者 游森朋
出版社 翰林出版
簡介（摘要）
第一章 三角
1-1直角三角形的邊角關係
1-2廣義角與極座標
1-3正弦定理、餘弦定理
1-4和角公式與差角公式
1-5三角測量
導讀
可以從國中的函數先去看銳角三角函數再去學廣義三角函數
最後是看三角函數值的求法		張騰達

序號書面報告說明上傳者
1說明 我在升國中一年級的暑假，參加校內舉辦的數學營隊，裡面有談到一個角度和的問題，讓我想知道這一題會不會有其他解法？如果是不同角度的話，會有解嗎，解法又是如何？最後我想把題目延伸，如果我把角度和個數增加，希望能找到一個模式去解決這種問題。張騰達

序號書面報告說明上傳者
1說明 PPT
張騰達