多根柱河內塔最佳分盤法探究~以Scratch堆疊程式輔助運算
| 序號 | 檔案 | 內容 | 上傳者 |
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| 10 |  | 作者 陳沛儒、許尹懷 來源 https://www.shs.edu.tw/works/essay/2016/04/2016040614003848.pdf 描述 上數學課的時候，講到遞迴關係式的單元，提到一個河內塔的問題，其實在國小時，便有聽過「河內塔」這個名字，但當時在操作時不知道它有什麼規律，而且班級內知道它如何運作以及如何以最少步數運作的規則的人並不多，於是我們利用閒暇時間，試出了最少步數的方法，在學習了這個單元之後，也找出了屬於三根柱最基本河內塔的遞迴關係式，對河內塔抱著極大興趣的我們，就已經有結論的河內塔研究，延伸與歸納出不同的河內塔問題。 | 陳羿潔 |
| 9 | | 作者 辛淑菁 來源 http://ntcuir.ntcu.edu.tw/bitstream/987654321/7892/1/094NTCTC284029-001.pdf 描述 本研究本著「從遊戲中學習，從操作中認知」的理念，冀望藉由河內塔遊戲的解 題過程中學習解決問題，提升數學學習障礙學童問題解決類化的能力。 | 陳羿潔 |
| 8 | | 作者 蔡易霖 翁煜傑 吳泳昇 來源 https://www.shs.edu.tw/works/essay/2010/11/2010111422515725.pdf 描述 本研究中所要討論的是當使用三根柱子時，將原先在柱上的 n 個圈由上而 下分成奇數圈和偶數圈，並以「最少步數」分別移動到其餘兩根奇數柱和偶數柱 上，而編號較小的圈必定在編號較大的圈上（也就是不可以「大」壓「小」），至 於移動的基礎即是建立在原始「河內塔」上。 | 呂嵉芸 |
| 7 | | 作者 丁培毅 來源 http://squall.cs.ntou.edu.tw/cprog/practices/Iterative%20Hanoi.pdf 描述 河內塔是一個本質上就具有遞迴特性的問題，把 n 個盤子由 A 柱子搬到 C 柱子 (以 B 為輔助)，基本上拆解為三個巨集動 作 由 A 搬移 n-1 個盤子到 B (以 C 為輔助) 由 A 搬移 1 個盤子到 C 由 B 搬移 n-1 個盤子到 C (以 A 為輔助) 要設計遞迴的程式相當直覺 | 呂嵉芸 |
| 6 | | 作者 古浩平 張乃文 來源 https://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/46/junior/0304/030402.pdf 描述 由 EdouArd LuCAs 提出的「河內塔問題」:一平面上豎著 A、B、C假設我們想要將這幾個圓環由木樁 A 搬到木樁 C，而且搬動過程受到以下三項限制： 一、一次只能搬動一個圓環。 二、每次搬動都須由某根木樁搬到另一根 木樁，圓環不能被暫時放到其他地方。 三、對任何木樁上的任意兩個相疊的圓環而言，上面 的圓環一定要比下面的圓環小三根木樁，其中的木樁 A 由上而下套著由小而大的 N 個相異的圓盤 | 呂嵉芸 |
| 5 | | 作者 余相甫 李安盛 來源 https://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-2/International2004/pdf/1108.pdf 描述 傳統河內塔問題在電腦科學上佔有重要的地位，是一個極具內涵的模型。由於這個模型的深厚數學內涵，使其和巴斯卡三角形建立了緊密的連結，且利用這個緊密的數學連結，設計出復原任意起始狀態的良好演算法。 | 呂嵉芸 |
| 4 | | 作者 林瑋玲 來源 http://math.nsysu.edu.tw/var/file/183/1183/img/495/302.pdf 描述 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。神廟中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，由上至下被放置了64 片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們按以下規則將 64 片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上，直到有那麼一天，僧侶們能將 64 片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。所以當全數搬完時，需要幾天 的時間呢？ | 呂嵉芸 |
| 3 | | 作者 諶靚、李婕、李凱恩、孫佳萱 來源 http://result.hlc.edu.tw/103%E5%B9%B4%E5%BA%A6/1115%E5%B0%8F%E8%AB%96%E6%96%87%E7%AB%B6%E8%B3%BD/%E5%BE%97%E7%8D%8E%E4%BD%9C%E5%93%81/%E5%9C%8B%E4%B8%AD%E7%B5%84_%E8%87%AA%E7%84%B6%E9%A0%98%E5%9F%9F_%E9%8A%80%E7%8D%8E_%E5%A3%BD%E8%B1%90%E5%9C%8B%E4%B 描述 我們在看了「猩球崛起」這部電影時看到一隻名叫「亮眼」的猩猩，正在使用河內塔測牠的智商，而我們很好奇那個叫座河內塔的東西為甚麼可以用來測智商。「亮眼」排 4 個圓盤時，用了 20 步，研究人員說滿分是 15 步。這引起了我們的興趣，原來河內塔可以用來考試啊。我們就在想，那第一個玩河內塔的人，或沒玩過河內塔的人，怎麼知道自己有走出了最少的步數？如果把可移動的柱子增加，最少的步數會不會有差別？ | 陳羿潔 |
| 2 | | 作者 許介彥 來源 http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/91(246-255)/248/32%E6%BC%AB%E8%AB%87%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%E5%95%8F%E9%A1%8C.pdf 描述 一般化的河內塔問題：河內塔問題中圓環的個數為 8，上述故事中圓環的個數為 64；讓我們考慮一個更具一般性的問題：當木樁 A 一開始套著 n 個圓環時，最少須搬動幾次？其中的 n 是任意正整數......。 | 陳羿潔 |
| 1 | | 作者 許技江 來源 http://www1.ymhs.tyc.edu.tw/library/paper/fileList/%E6%A5%8A%E6%A2%85%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E5%A0%B1%E7%AC%AC1%E6%9C%9F/04.%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%E4%B9%8B%E6%B7%B1%E5%85%A5%E7%A0%94%E7%A9%B6--%E8%A8%B1%E6%8A%80%E6%B1%9F(p.29-42).pdf 描述 第一段為「河內塔的起源」，接著是「移動河內塔之規則」、「河內塔移動方式之方向」、「歸納河內塔基礎成果」、「河內塔進階移動法」最後是「結論及心得」。 | 陳羿潔 |
| 序號 | 封面照 | 內容說明 | 上傳者 |
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| 5 |  | 類別 相簿集 名稱 河內塔最少步數實作練習 說明 三根柱、四根柱及多根柱河內塔最少步數實作練習 | 陳羿潔 |
| 4 |  | 類別 相簿集 名稱 多根柱河內塔最少步數網路線上遊戲練習 說明 多根柱河內塔最少步數網路線上遊戲練習 | 陳羿潔 |
| 3 |  | 類別 相簿集 名稱 3D列印河內塔組件 說明 3D列印河內塔組件 | 林祐民 |
| 2 |  | 類別 相簿集 名稱 Scratch編寫多根柱河內塔之最佳分盤法 說明 Scratch編寫多根柱河內塔之最佳分盤法 | 林祐民 |
| 1 |  | 類別 相簿集 名稱 多根柱河內塔文本書寫 說明 多根柱河內塔文本書寫 | 呂嵉芸 |
| 序號 | 內容 | 上傳者 |
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| 10 | 作者 林祐民 標題 分盤法 內容 四根柱的規律： 四根柱的河內塔也有其規律性，我們發現最少的步數有明顯的減少，原因為多一根柱，就可以將圓盤先分配在2根分盤柱上，不同於三根柱只能將圓盤分在1根分盤柱上。例如要完成3盤的遊戲，就不需要先完成2盤，可以先將2盤分成1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤）。因為1盤只需1步，所以四根柱的3盤只需S4(3)=2*1+2*1+1=5步。 例如四根柱4盤，可將底盤以上的3盤先分成（2盤，1盤）、（1盤，2盤）、（3盤，0盤）及（0盤，3盤）4種數對型式。 五根柱的規律及最佳分盤法： 五根柱的河內塔也和四根柱一樣有其規律性，可以將圓盤分配在3根柱上，不同於四根柱的2根分盤柱，三根柱的1根分盤柱。因為五根柱有3根分盤柱，需要的步數減少更多。例如要完成4盤的遊戲，就可以先將底盤上的3盤分成1盤、1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤，1盤）。數對（4盤，1盤，1盤）的「敘述」為：五根柱的4盤與四根柱的1盤及三根柱的1盤。最小步數S5(7) =2*7+2*1+2*1+1=19步。 六根柱的河內塔也和五根柱一樣有其規律性，可以將圓盤分配在4根柱上。因為六根柱有4根分盤柱，需要的最少步數減少更多。例如要完成5盤的遊戲，就可以先將底盤上的4盤分成1盤、1盤、1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤，1盤，1盤）。所以六根柱5盤的步數 S6(5)=2*1+2*1+2*1+2*1+1=9步即可完成。 依數學歸納法，我們也可以利用此方法算出不限柱數不限盤數的河內塔公式解。 | 林祐民 |
| 9 | 作者 林祐民 標題 程式探索 內容 今天，老師吩咐給了我一個任務，就是將之前已經完成的河內塔多根柱程式再多加上一個功能，叫做計算分盤法，因為要用到艱難的邏輯跟數學，所以這任務比想像中來的難，到現在我們過了一個月我還是繼續在思考，希望能將老師給的任務完成，因此我思考了一下我們的分盤法的算法，在跟程式做比對，發現，我們可以利用等差的規律來算，但是ˋ過了一個禮拜，啊，發現不行，又發現可以用原來的公式套用，但數值有時還是錯誤，還要努力！ | 林祐民 |
| 8 | 作者 陳羿潔 標題 文本下半部及研究計算方式 內容 接續上次的進度，我們讀(理解)到了文本上半部的地方，這次換成了下半部，讀完之後，時間差不多還有一半，所以老師就給我們一個檔案，我們在電腦中檢視了一下檔案，是......scratch?很好奇又很疑惑的我們，把它給點了開來，看到了裡面的東西，我們腦中的疑惑一秒全消失不見，原來是以scratch程式堆疊的方式，來計算河內塔研究中需要計算的東西，只剩下最後一部分需要我們繼續研究，雖然感覺上有些困難，不過我相信我們可以的！ | 陳羿潔 |
| 7 | 作者 陳羿潔 標題 詳讀文本 內容 今天老師給我們的任務是把文本(前兩屆學長姐寫的)讀懂讀熟，且可以大概講出那詞代表的意思。 剛開始我只是把文本(前兩屆學長姐寫的)瞄過一遍，當然，這樣根本沒辦法理解內容到底是什麼，我的下一個步驟是在從頭開始看文本，把不會、不理解的字詞用鉛筆圈起來，然後一個字一個字(一個詞一個詞)慢慢地思考，盡量理解意思，等到最後如果還有不懂的，再去問跟我們同一組的學長，就這樣花了三小時，其實才看完了半本文本。 | 陳羿潔 |
| 6 | 作者 陳羿潔 標題 實際計算多跟柱表格 內容 剛進到教室，老師就發給我們了一張像似考卷的東西，上面寫著：最佳分盤、步數差以及最少步數，以現在我懂得名詞，對於這張考卷並不陌生，也不難理解，這上面的三項項目，都是這幾天我們研究過、理解過的，只剩實作推理這東西了，這張雖然並不像是考卷，卻具備了蠻多考卷元素，真像是在寫數學的模擬考考卷。 過了沒幾分鐘，本來充滿談話聲及討論聲的教室，頓時只剩下筆寫在紙上沙沙作響的聲音，我寫的並不比呂嵉芸快，但她站起來交卷時，我也寫得差不多了。 最麻煩的並不是運算方面，而是最佳分盤，或許還在3、4跟柱的時候還好，等到算到5跟柱、6跟柱、7跟柱甚至8跟柱時，就會寫得開始不耐煩，甚至會開始錯亂，「咦?剛這個有加進去過嗎?欸?我是不是又算錯了?」等等的疑問從頭腦中爆了出來。 | 陳羿潔 |
| 5 | 作者 陳羿潔 標題 n根柱步數差推算 內容 這次的研究，我們一樣以沒頭緒開始進入主題，第一次體驗到為什麼每次我們老師都說：「無知的人很可憐。」，什麼都不懂還真是辛苦。 這次的主題是：n根柱步數差的推算方法及公式。我們不是科學家，也不是老師或教授，所以就算老師叫我們不能看文本上的答案，要自己算，我們也找不出答案，因為我們根本看不懂啊！就這樣過了十幾分鐘，我們一樣停留在當初，連筆何止也好端端地像當初一樣有如新的、剛印的放在桌上。 又過了幾分鐘後，我們倆像是心有靈犀的一起把文本拿了起來開始討論，因為有頭緒了，所以也慢慢有了方向，這時的我們，正朝著答案邁進呢！ 最後討論出來的公式及結果是：表格中，中央數=上方的數字+左方的數字。 | 陳羿潔 |
| 4 | 作者 陳羿潔 標題 剛開始進入研究 內容 之前，我們討論出來的結果是：要延續學長姐之前做過的研究，主要主題是「河內塔」。後來要開始研究後，我才開始擔心：「糟了，我根本不知道河內塔是什麼東西，要怎麼做研究？」心裡越來越擔心的狀態，一直持續到了開始做小論文的第一天。 首先，老師先讓什麼都不懂且才剛加入的我們，自己把河內塔這項益智遊戲的規則先用清楚。我們就這樣一臉茫然地看著河內塔的遊戲用具，看著看著......想說：「這樣趴著也無濟於事，還是用用看吧！」我和呂嵉芸開始研究著河內塔這東西，不過後來我們才發覺，看似複雜又令人頭大的河內塔，其實只要懂它的規律，就有可能變得容易推論些。 過後搞清楚它的玩法後，我們才又照著之前學長姐的研究，開始從三盤、四盤慢慢推算到五盤，看是不是跟文本上的結果及答案一樣，如果不一樣，就重頭再用一次，用到根文本上的結果一樣為止。 | 陳羿潔 |
| 3 | 作者 呂嵉芸 標題 最佳分盤法 內容 分盤方式也有其規律，能減少很多步數的試驗。 四根柱分盤:因為對於四根柱而言，有二根柱子可以分盤，例如四根柱4盤，可將底盤以上的3盤先分成（2盤，1盤）、（1盤，2盤）、（3盤，0盤）及（0盤，3盤）4種數對型式。我們發現上述的4種數對所需的步數並不全然相同。就數對（2盤，1盤）而言，前面的2盤是對應於四根柱的最少步數，而後面的1盤是對應於三根柱的最少步數。因為先完成2盤之後，就少一根柱可分盤，而後面的1盤等同於三根柱的步數，因此（2盤，1盤）的數對「敘述」為：四根柱的2盤與三根柱的1盤。 S4(4) =2*3+2*1+1=9步。 同理（1盤，2盤）的數對「敘述」為：四根柱的1盤與三根柱的2盤。S4(4)=2*1+2*3+1=9步。 同理（3盤，0盤）的數對「敘述」為：四根柱的3盤與三根柱的0盤。 S4(4) =2*5+2*0+1=11步。 同理（0盤，3盤）的數對「敘述」為：四根柱的0盤與三根柱的3盤。 S4(4) =2*0+2*7+1=15步。 因為我們是要將底盤（第m盤）上面的圓盤全部移走分盤，所以需分盤的盤數是m－1盤。完成分盤之後，底盤才可以移到終點柱（需要1步），所以規律1所說的m盤最少步數為：2倍前盤最少步數加1，就是加底盤移至終點柱的那1步。我們先完成四根柱前3盤的最少步數，2盤與3盤所增加的步數差 J4(2)= J4(3)=2，都是2步差。接著，我們開始增加盤數，4盤的分盤數對在（2盤，1盤）或（1盤，2盤）的步數都相同，依據分盤規律，我們會選用（2盤，1盤）的分盤方式，因為從四根柱開始增盤，在實際操作上會比較順手。同理，5盤的分盤數對我們會選用（3盤，1盤），因為四根柱2盤增為3盤，所增加的步數差也只增加2步。但在四根柱增加成6盤時，我們會選用數對（3盤，2盤）來分盤，而不是（4盤，1盤）。因為，四根柱的3盤增加為4盤時，步數會由5步增為9步，步數差J4(4)=4。但三根柱由1盤增為2盤時，步數差卻只增加2步，J3(2)=2（表一），所以最少的步數 S4(6) 會由（3盤，2盤）勝出。 | 呂嵉芸 |
| 2 | 作者 呂嵉芸 標題 河內塔五根柱 內容 五根柱的河內塔也和四根柱一樣有其規律性，可以將圓盤分配在3根柱上，不同於四根柱的2根分盤柱，三根柱的1根分盤柱。因為五根柱有3根分盤柱，需要的步數減少更多。例如要完成4盤的遊戲，就可以先將底盤上的3盤分成1盤、1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤，1盤）。所以五根柱4盤的步數S5(4)=2*1+2*1+2*1+1=7步即可完成，比S4(4)的9步少2步，也比S3(4)的15步少8步，由此可得知五根柱的64盤所花的時間，想必會比三根柱的64盤花的時間少了很多，從5849億年，縮減成25分35秒。 | 呂嵉芸 |
| 1 | 作者 呂嵉芸 標題 河內塔四根柱 內容 四根柱的河內塔也有其規律性，我們發現最少的步數有明顯的減少，原本三根柱的64盤需要大約5849億年，現在只要18433秒就能完成，因為多一根柱，就可以將圓盤先分配在2根分盤柱上，不同於三根柱只能將圓盤分在1根分盤柱上。例如要完成3盤的遊戲，就不需要先完成2盤，可以先將2盤分成1盤和1盤，寫成數對（1盤，1盤）。因為1盤只需1步，所以四根柱的3盤只需S4(3)=2*1+2*1+1=5步（規律1）即可完成。同理，要完成4盤的遊戲，就不需先完成3盤，可以先將3盤分成2盤和1盤，寫成數對（2盤，1盤）。因為四根柱的2盤需3步，1盤只需1步，最少步數為S4(4) =2*3+2*1+1=9步（規律1），只要知道最佳分盤，就可以算出最少步數了。 | 呂嵉芸 |
| 序號 | 封面 | 簡介（摘要） | 上傳者 |
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| 5 |  | 書名 數學悠哉遊 作者 許介彥 出版社 三民 簡介（摘要） 你知道離散數學學些什麼嗎？你有聽過鴿籠（鴿子與籠子）原理嗎？你曾經玩過河內塔遊戲嗎？本書從生活上輕鬆簡單的主題帶領您認識離散數學的世界，並且如何以基本的概念出奇地解決生活上的問題。 另外我們還要帶您從不同的角度來欣賞數字的神祕與奇趣，不管您的數學程度如何，只要具備中學的數學知識，就能與我們一同悠哉地遨遊離散數學與數論的天堂，快跟我們一起行動吧！ 導讀 各種數學題目、小遊戲、益智遊戲，全都在這本書裡，將讓你瞭解這些遊戲不只是個遊戲，而是運用了數學的元素，使其遊戲看起來完整又具有豐富的思考點和益智。 | 陳羿潔 |
| 4 |  | 書名 演算法之美：隱藏在資料結構背後的原理 作者 左飛 出版社 博碩 簡介（摘要） 本書圍繞演算法與資料結構的話題，並且循序漸進、深入淺出地介紹現代電腦技術中常用的40餘種經典演算法，包含回溯法、分治法、貪心法和動態規劃等演算法設計觀念。同時，本書也系統性地講解連結串列、堆疊、佇列、樹、圖、集合與字典等常用的資料結構。同時，透過22個經典問題（包括約瑟夫環問題、河內塔問題、八皇后問題和騎士巡邏問題等）的解說，逐步揭開隱藏在資料結構背後的演算法原理，試圖協助讀者充實知識基礎，啟動思維技巧，最終衝破阻礙提升程式設計能力的重重藩籬。 導讀 對於演算法不熟悉之讀者，將在這本書裡快速吸收知識。解釋簡單、明瞭清晰，讓本來一竅不通的人一看就懂。 | 陳羿潔 |
| 3 |  | 書名 愈玩愈聰明IQ遊戲大百科 2: 立體移動遊戲玩出你的想像力 作者 秋山仁 出版社 親子天下股份有限公司 簡介（摘要） 【一玩就上手，趣味又益智】 和日本數學大師秋山仁一起來做頭腦體操 立方體、智慧環、河內塔、滑塊遊戲等 動腦玩動手做 發揮想像力 享受益智遊戲的樂趣 導讀 讓自己的大腦完全運轉吧！ 本書匯集古今中外最有創意的立方體及移動類遊戲，挑戰小玩家的腦力極限！ 同時介紹各式遊戲製作方法，讓小玩家自己動手做童玩，趣味又益智。 | 呂嵉芸 |
| 2 |  | 書名 十個最偉大的數學謎題: 解讀說謊者悖論與河內塔問題 作者 馬塞爾．丹尼西 Marcel Danesi 出版社 晶冠出版有限公司 簡介（摘要） 獅身人面像之謎 盧卡斯的河內塔問題 阿爾琴的渡河問題 勞埃德的地球轉動之謎 斐波那契的兔子問題 埃庇米尼得斯的說謊者悖論 歐拉的柯尼斯堡橋問題 洛書幻方 古德里的四色問題 克里特迷宮 導讀 你將發現世界上長久以來最吸引人的十道謎題，在形塑數學史中扮演了要角。馬塞爾.‧丹尼西（Marcel Danesi）在本書將向你介紹十大數學名題，詳述其背後的數學，其中也包括了習題和答案－－讓你有機會對類似的問題大展身手。當你身陷於難題的迷霧之中時，透過圖形上的錯覺步步去逼近不正確的理論，你會發現堅實數學思想如何源自謎題的架構。從頑強的謎題狂到數學愛好者們，這包羅萬象的難題無疑是深具啟發、充滿娛樂而且令人印象深刻。 | 呂嵉芸 |
| 1 |  | 書名 Visual C# 2010程式設計16堂課 作者 李啟龍、李安泰 出版社 碁峰資訊股份有限公司 簡介（摘要） 提供大量實用且有趣的程式範例，包括：『圓周計算程式』、『解一元二次方程式』、『計算機程式』、『階乘計算程式』、『倒數計時器程式』、『圖片輪撥程式』、『理想體重判斷程式』、『公司薪資總額計算程式』、『1A2B猜數字程式』、『碰撞變色球遊戲程式』、『最大公因數和最小公倍數計算程式』、『選擇題作答程式』…等等，甚至於還設計動態的『氣泡排序法演示視窗程式』、『河內塔解題演示程式』 導讀 讀者可以觀察到在程式進行中，各個資料項目的改變狀況，藉由演示過程來幫助老師在課堂上進行教學或是讀者進行自修。 | 呂嵉芸 |
| 序號 | 截圖 | 網站簡介 | 上傳者 |
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| 20 |  | 網站名稱 n柱河內塔的捷徑建構與通式的尋找 網址 https://www.ntsec.edu.tw/Science-Content.aspx?cat=&a=0&fld=&key=&isd=1&icop=10&p=253&sid=8992 網站簡介 對於n柱河內塔的移動，當完成遊戲，其過程必存在「半移動」(名稱說明見P5 )狀態。我們從「半移動」狀態中，尋找出如何達成「捷徑半移動」(名稱說明見P14)的方法？此種方法為「滿格建構」(名稱說明見P12)。進一步利用「捷徑半移動」，建構出「河內塔的捷徑」。並從「滿格建構」推導出的「滿格數量關係表」，發現其關係存在著「巴斯卡三角圖形」。利用「巴斯卡三角圖形」的關係，我們推導出n柱m環的通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。 | 林祐民 |
| 19 |  | 網站名稱 SCRATCH 使用Scratch 解河內之塔（Towers of Hanoi）遊戲（一） 網址 http://www.okpc777.com/wp/archives/259 網站簡介 以程式語言來解河內塔，大部分的解法是用遞迴來做 如果以Scratch 2 來做，要如何做呢？ 參考了這個網站，有「12、13、23移動規則」，其中的1、2、3，是柱子的名稱，在本文中，改稱為A柱、B柱、C柱 | 林祐民 |
| 18 |  | 網站名稱 河內塔問題 網址 http://163.28.10.78/content/senior/computer/ks_ks/book/algodata/algorithm/algo44.htm 網站簡介 根據一個古老的故事，在遠東的某處有一個寺院，裏面有一堆六十四個由大到小純金打造的盤子。有一回，這些盤子被疊在一起，最大的盤子放在最底層。每一個盤子被穿了一個孔，放在寶石的針上。它們可以根據底下的規則由一個位置搬移到另外一個位置: ◎一次只能移動一個盤子。 ◎大盤子永遠不能放在小盤子的上面。 ◎這一疊盤子可以藉由另外一個外加的暫時位置從某個位置移到另外一個位置。 當這個"河內塔"從某個位置全部被搬到另外一個位置時，世界末日就會降臨！ | 林祐民 |
| 17 |  | 網站名稱 [資料結構] 基礎遞迴 網址 http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php 網站簡介 有3根直立的木棒(A, B, C)，最左邊的木棒(A)有n個由小到大的盤子，將全部盤子由最左邊的棒子移到最右邊(A → C)， 一次只能移動一個盤子較大的盤子不能放在較小的盤子上面 ⇒ 只能移動最上面的盤子...... | 陳羿潔 |
| 16 |  | 網站名稱 【演算】河內塔- Tower of Hanoi - Infinite Loop 網址 http://program-lover.blogspot.com/2008/06/tower-of-hanoi.html 網站簡介 河內塔問題是由法國數學家盧卡斯引進的數學謎題：在 3 根桿子中，有 1 桿上有 N 個從下數起由大而小的穿孔圓盤。在每次只能移動一個圓盤，且大盤不能疊在小盤之上的規則之下，你需要以最少的次數將這 N 個圓盤全部移到另一根桿子上。 | 陳羿潔 |
| 15 |  | 網站名稱 河內塔 - OpenHome.cc 網址 https://openhome.cc/Gossip/AlgorithmGossip/HanoiTower.htm 網站簡介 河內之塔是法國人M.Claus於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家 Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依由小 至大排列的金盤，並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子， 則當 盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。 | 陳羿潔 |
| 14 |  | 網站名稱 【益智遊戲】河內塔（ Tower Of Hanoi ） @ 阿國仔的教學筆記:: 隨意窩 網址 https://blog.xuite.net/lk_hsu/twblog/117394285-%E3%80%90%E7%9B%8A%E6%99%BA%E9%81%8A%E6%88%B2%E3%80%91%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94%EF%BC%88+Tower+Of+Hanoi+%EF%BC%89 網站簡介 河內有三支柱子，左柱有n個色環，欲將左柱色環移至右柱，保持由小而大的順序。 '色環開始時由小而大順序置於左區，要將這n個色環由左區的搬至右區。 '中區可當作橋樑，但仍需符合由小而大的規則。 '搬移過程必須符合條件： '1>小的色環必須在大的色環之上。 '2>色環可隨意由任一區移動到另一區。 '3>一次僅能搬移一個色環。 '4>每一區由最上面的色環移動。 '5>最快移動次數：(2^n)-1, 若n=3,最少移動次數=7次。 試試你的功力，是否能在最短時間內，移動次數最少。 | 呂嵉芸 |
| 13 |  | 網站名稱 河內塔(Tower of Hanoi) @ 小殘的程式光廊:: 痞客邦:: 網址 https://emn178.pixnet.net/blog/post/87877439-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94(tower-of-hanoi) 網站簡介 這是根據一個傳說演變而成的題目，題目的規則如下： 1有三根竿子，例如編號為A、B和C，竿子上面可串中空圓盤。 2於A竿子放入N個盤子開始，盤子由下至上變小。 3一次只能移動一個盤子。 4大盤子不能再小盤子上面。 5目標將全部盤子移動到C竿子。 | 呂嵉芸 |
| 12 |  | 網站名稱 河內塔@ 藍色情懷:: 痞客邦:: 網址 http://bluelove1968.pixnet.net/blog/post/222284392-%E6%B2%B3%E5%85%A7%E5%A1%94 網站簡介 就像其他益智遊戲，對於河內塔遊戲也可以經由數學上的方法得到一些漂亮的結果：若一開始就考慮64金屬片似乎太難了，我們不妨把金屬片的數量降低至2片，看看會有什麼結果。 | 陳羿潔 |
| 11 |  | 網站名稱 河內塔移動方式之研究方向 網址 http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/reheart/study/knowle/Hanoi-tower.htm 網站簡介 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個遊戲。 這個遊戲名為河內塔，它源自古印度神廟中的一段故事。 | 陳羿潔 |
| 10 |  | 網站名稱 來點不同的河內塔| iThome 網址 https://www.ithome.com.tw/voice/111882 網站簡介 河內塔？這不是入門級的演算法嗎？當然，這幾乎是每個程式人接觸遞迴時的必練之題，當初你是自行解出河內塔的嗎？如果不是的話，現在先別在網路搜尋解法，試著自行解解看，然後再來看看各種河內塔，你是否也解得出來呢？ | 呂嵉芸 |
| 9 |  | 網站名稱 [資料結構(Data Structure, DS) 教學教程教材Tutorial] 基礎遞迴- 河內塔 網址 http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php 網站簡介 愈大的盤子要放在愈下面，所以要先把最大的盤子移到目的地 可把問題分成數個步驟，每步驟的目的皆為將還沒移到目的地的盤子中最大的盤子移到目的地 3根木棒可視為：出發點、輔助移動、目的地 先將非最大的盤子移到輔助的木棒，再將最大盤子移到目的地，再將剩餘的盤子移到目的地 | 呂嵉芸 |
| 8 |  | 網站名稱 河內塔 網址 https://openhome.cc/Gossip/AlgorithmGossip/HanoiTower.htm 網站簡介 河內之塔(Towers of Hanoi)是法國人M.Claus(Lucas)於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家 Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒（Pag）所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依 由小 至大排列的金盤（Disc），並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子， 則當 盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。 | 呂嵉芸 |
| 7 |  | 網站名稱 河內之塔－搬搬樂 網址 http://oddest.nc.hcc.edu.tw/math183.htm 網站簡介 如果現在是搬三個盤子的遊戲，相信你們一定可以在簡單的步驟中扳開兩個盤子到另一根柱子上，那麼接下來的大盤子移動到空柱子後，如何在迅速、最少的步數下，將另一根柱子上的兩個盤子直接搬到大盤子上？ | 呂嵉芸 |
| 6 |  | 網站名稱 河內塔中的數學知識 網址 http://www.mtedu.utaipei.edu.tw/mathweb/data/file/96.htm 網站簡介 學生在解答數學問題，或者玩遊戲時，一開始可能手足無措。此時學生可以用來解來數學或者玩遊戲的方法是把問題再簡化。比如，在河內塔的遊戲中，８個環不容易玩成功。此時，我們把圓環的數目減少到二個、三個，學生就很容易玩成功。然後再一次增加一個環。學生就容易發現河內塔當的規律性。也就容易玩成功。 | 呂嵉芸 |
| 5 |  | 網站名稱 ［離散數學］河內塔難題再下一塔- UniMath - Google Sites 網址 https://sites.google.com/a/g2.nctu.edu.tw/unimath/2017-11/Hanoi 網站簡介 由於中文名字叫「河內塔」，所以很容易被誤會以為和古老的某條河中或河旁邊的塔有關；另外也有一充滿神秘色彩的傳說，在古印度的某個廟宇中有個 64 盤的河內塔，只要僧侶順利完成了河內塔移動，世界就會毀滅。 | 陳羿潔 |
| 4 |  | 網站名稱 河內塔 - 九章出版社 網址 http://www.chiuchang.com.tw/toy/hanoi/hanoi.html 網站簡介 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 | 陳羿潔 |
| 3 |  | 網站名稱 遞迴分析與河內塔@ 數學:: 五夢網 網址 http://www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno=26283 網站簡介 古印度有一個很有趣的傳說，在伯那爾斯(Benares)的一座大寺廟裡，有一棟被稱為是世界之中心點的樓閣，它的下面有一塊黃銅製的方形盤子，盤子上豎立著三根鑽石製成的棒子。 | 陳羿潔 |
| 2 |  | 網站名稱 河內塔 網址 http://www.psy.kmu.edu.tw/~choco/Hanoi.html 網站簡介 相信許多人都有玩過河內塔『Tower of Hanoi』的經驗，在不斷搬移的過程中，必須遵循著一定的遊戲規則：上方的環一定要比下方的小，且一次只能搬動一個環。 但是否我們只能不斷嘗試、碰運氣，最後幸運地搬完所有的環?還是說，有其他的規律可循 ? | 陳羿潔 |
| 1 |  | 網站名稱 河內塔- 維基百科，自由的百科全書 網址 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94 網站簡介 河內塔是根據一個傳說形成的數學問題：有三根杆子A，B，C。A杆上有 N 個 (N>1) 穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規則將所有圓盤移至 C 杆：每次只能移動一個圓盤；大盤不能疊在小盤上面。 提示：可將圓盤臨時置於 B 杆，也可將從 A 杆移出的圓盤重新移回 A 杆，但都必須遵循上述兩條規則。問：如何移？最少要移動多少次？ | 陳羿潔 |
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| 1 | | 說明 多根柱河內塔最佳分盤法探究~以Scratch堆疊程式輔助運算 | 林祐民 |
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| 2 |  | 說明 簡報檔 | 陳羿潔 |
| 1 |  | 說明 程式 | 陳羿潔 |
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